Question

关于反函数二阶导数的问题

我的教科书上是这么解释的：由于dx/dy=1/y‘,注意到y'即y'(x)表示y对x的导数，它是关于x的函数。因此在求(dx)^2/d(y^2)时应把x看作中间变量，由复合函数求导法则，可得：
(dx)^2/d(y^2)
=d(1/y')/dy
=d(1/y')/dx×(dx/dy)
=-y''/(y'^2)×(1/y)
=-y''/(y'^3)
谁能帮我解释一下为什么是这样，为什么是d(1/y')/dy ，我很不理解，还有那个dY的Y到底是哪个Y

Answer 1

这样解释你或者明白：令y=y(x), 其反函数为x=x(y), 则dx/dy=1/y'(x)=1/y'[x(y)], 这是以x为中间变量y为自变量的复合函数. 因此,
d²x/dy²=d(1/y'[x(y)])/dy=d(1/y'(x))/dx × dx/dy=-y''(x)/[y'(x)]² × 1/y'(x)=-y''(x)/[y'(x)]³

追问

那我这么算有什么不对吗，一阶反函数导数是1/y',再求它的导数,为(-1)(1/y'^2)*y''

追答

注意, 1/y'=1/y'(x)这是关于x的函数, 所以它对x的导数是(-1)(1/y'^2)*y'', 但是现在是要对y求导数, 即1/y'=1/y'(x)=1/y'[x(y)]视作关于y的函数, 而这是复合函数, 对y的导数当然是对x的导数乘以x对y的导数, 所以答案应该是(-1)(1/y'^2)*y''再乘以dx/dy, 即(-1)(1/y'^2)*y''×1/y'

Answer 2