Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n^2,b1=3且b(n+1)=1/4bn+3/4(n为自然数）， 1，求数列｛an｝的通项公式

2，证明｛bn-1｝是等比数列，并求｛bn}的通项公式
3，设cn=an/(bn-1)，求数列｛cn｝的前n项和Tn

Answer 1

解：
1.
令n=1
a1=S1=2
Sn=2n²
Sn-1=2(n-1)²
an=Sn-Sn-1=2n²-2(n-1)²=4n-2
n=1时，a1=4-2=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=4n-2
2.
b(n+1)=bn/4+3/4
b(n+1)-1=bn/4-1/4=(1/4)(bn-1)
[b(n+1)-1]/(bn-1)=1/4，为定值。
b1-1=3-1=2
数列{bn-1}是以2为首项，1/4为公比的等比数列。
bn-1=2×(1/4)(n-1)=8/4^n
bn=8/4^n+1
b1=8/4+1=3，同样满足。
数列{bn}的通项公式为bn=8/4^n+1
3.
cn=an/(bn-1)=(4n-2)/(8/4^n)=(4n-2)4^n/8=(2n-1)4^(n-1)
令Cn=1×4^0+2×4^1+3×4^2+...+n×4^(n-1)
4Cn=1×4^1+2×4^2+...+(n-1)×4^(n-1)+n×4^n
Cn-4Cn=-3Cn=4^0+4^1+4^2+...+4^(n-1)-n×4^n=(4^n-1)/(4-1)-n×4^n=(4^n-1)/3-n×4^n
Cn=n×4^n/3-(4^n-1)/9=(1/9)[(3n-1)4^n+1]
Tn=2Cn-[1+4^1+4^2+...+4^(n-1)]
=(2/9)[(3n-1)4^n+1]+(4^n-1)/(4-1)
=[(6n+1)4^n-1]/9

追问

第2题答案是2乘(1/4)^(n-1)

追答

8/4^n和2乘(1/4)^(n-1)是一样的，其实写成8/4^n更好些。你写成2乘(1/4)^(n-1)也可以。

追问

为什么相等啊？求解释

追答

这个看不出来吗？
2×(1/4)^(n-1)=2/4^(n-1)=(2×4)/[4^(n-1)×4]=8/4^n