Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,点M,N分别为CD,AB的中点,且MN⊥AB,试问:梯形ABCD是等腰梯形吗？

两种方式 都要写

Answer 1

方法一：
连结AM、BM。
∵AN＝BN、MN⊥AB，∴MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠AMN＝∠BMN。
∵AB∥DC、MN⊥AB，∴MN⊥CD，结合证得的∠AMN＝∠BMN，得：∠AMD＝∠BMC。
由DM＝CM、AM＝BM、∠AMD＝∠BMC，得：△AMD≌△BMC，∴AD＝BC，
∴ABCD是等腰梯形。

方法二：
过C、D分别作AB的垂线，垂足分别是E、F。
∵FE∥DC、DF⊥FE、CE⊥FE、MN⊥FE，∴CMNE、DMNF都是矩形，
∴DF＝MN＝CE，DM＝FN、CM＝EN，而DM＝CM，∴FN＝EN，又AN＝BN，∴AF＝BE。
由DF＝CE、AF＝BE、∠DFA＝∠CEB＝90°，得：△ADF≌△BCE，∴AD＝BC，
∴ABCD是等腰梯形。

Answer 2

解：证法一：
连接AM、BM，∵N为AB中点，∴AN=BN，又MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB，又MN=MN，∴△AMN≌△BMN，
∴AM=BM，∠AMN=∠BMN，
∵M为CD中点，∴CM=DM，又AM=BM，∴∠MAB=∠MBA，
又∵DC∥AB，∴∠MAB=∠AMD，∠MBA=∠BMC，
∴∠AMD=∠BMC，∴△ADM≌△BCM，∴AD=BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
证法二：∵M、N分别为CD、AB中点，又MN⊥AB，
∴MN梯形ABCD的对称轴，根据对称的性质，∴AD=BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．点评：本题考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是连接AM、BM，证明三角形全等．

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Answer 3

梯形ABCD是等腰梯形。
证明：分别过点C、D向AB作垂线交于点E、F
那么 MN || CE || DF
在长方形CDFE中，M是CD中点，那么得到N是EF中点
所以EN=FN
又N是AB中点，即AN=BN
所以有：AF=BE
而CE=DF
分别用勾股定理：AD^2=AF^2+ADF^2，BC^2=BE^2+CE^2
得到AD=BC

Answer 4

梯形ABCD是等腰梯形。
证明：分别过点C、D向AB作垂线交于点E、F
那么 MN || CE || DF
在长方形CDFE中，M是CD中点，那么得到N是EF中点
所以EN=FN
又N是AB中点，即AN=BN
所以有：AF=BE
而CE=DF
分别用勾股定理：AD^2=AF^2+ADF^2，BC^2=BE^2+CE^2
得到AD=BC