Question

已知一椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1，过椭圆上的一点p，做切线（p点只取第一象限内）交y轴与M，x轴与N，求

求三角形omn面积的最小值

Answer 1

设点P(x'，y')(x'>0，y'>0)，则过点P的切线方程为
x‘x/a^2+y’y/b^2=1
令x=0，则y=b^2/y’，M(0，b^2/y’)
令y=0，则x=a^2/x'，N(a^2/x'，0)
Rt△OMN中，∠MON=90°，|OM|=b^2/y’，|ON|=a^2/x'
S△=|OM||ON|/2=a^2b^2/2x'y’
设x'=a·sinθ，y'=b·cosθ（0＜θ＜π/2），则
S△=a^2b^2/2x'y’=ab/（2sinθ·cosθ）=ab/sin2θ≥ab，当且仅当θ=π/4时取等号
即△OMN面积的最小值为ab

追问

明白了 能告诉我 你是怎么想到的吗 x‘x/a^2+y’y/b^2=1
x'=a·sinθ，y'=b·cosθ 这两个步骤

追答

鉴于这儿不易打一些公式符号，我传一张图片吧