Question

如图,在△ABC中,角BAC=90°,BC的中垂线交BC于D，交BA的延长线于E，交AC于F，求证：AD^2=DE·DF

Answer 1

如图,在△ABC中,角BAC=90°,BC的中垂线交BC于D，交BA的延长线于E，交AC于F，求证：AD²=DE•DF
证明：∵DE是BC的中垂线，∴BE=CE，即△BEC是等腰三角形，DE为其底边BC上的高，故
DE平分∠E，即∠BED=∠CED。
又∵CA⊥BE，DE⊥BC，∴E，A，D，C四点共圆，
∴∠DAC=∠CED=∠BED，即有∠DAF=∠AED，又∠ADF=∠ADF，∴△ADF～△EDA，
于是AD/DF=DE/AD，∴AD²=DE•DF，故证。

Answer 2

证明:∠BAC=90度,BD=CD.则AD=BC/2=BD=DC.
∠DCF=∠BED(均为角B的余角);∠CDF=∠BDE=90°.
故:⊿CDF∽⊿EDB,CD/DE=DF/BD.
所以,CD*BD=DE*DF, 得AD*AD=DE*DF,AD²=DE*DF.

Answer 3

证明：
AD平分∠BAC
∠BAD=∠DAC
AD‖EF
∠AEF=∠DAC
∠F=∠BAD
∠F=∠AEF
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形