Question

一道数学题（关于相似三角形的）

如图，已知等腰直角三角形Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC,D为BC边上一动点，BC=nDC，CE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F。
①若n=3，则CE/DC=?,AE/DE=?
②若n=2，求证：AF=2FC
③当n为多少时，F为AC的中点。

Answer 1

①∵△DCE∽△ADC，∴CE/DC=AC/AD，∵AC=BC=nDC，∴AD=√(AC²+DC²)=√(n²+1)DC，，∴CE/DC=nDC/[√(n²+1)DC]=n/√(n²+1)，CE=nDC/√(n²+1)，AE=√[n²-n²/(n²+1)]DC=n²DC/√(n²+1)，DE=√[1-n²/(n²+1)]DC=DC/√(n²+1)，∴AE/DE=n²；当n=3，则CE/DC=3√10/10，AE/DE=9；
②过E作BC垂线交于G点，当n=2，AE/DE=4，AE/DE+1=5，AD/DE=5，∵△EDG∽△ADC，∴AD/DE=AC/EG=DC/DG=5，AC=2DC=2BD，BG=BD+DG=DC+DC/5=6AC/10，∵△BGE∽△BCF，∴FC/EG=BC/BG，FC=(AC²/5)/(6AC/10)=AC/3，AF=AC-AC/3=2AC/3，则AF=2FC；
③AE/DE=n²，AD/DE=n²+1，AD/DE=AC/EG=DC/DG=n²+1，AC=nDC，BG=BD+DG=[1-1/n+1/n(n²+1)]AC=(n²-n+1)AC/(n²+1)，，∵△BGE∽△BCF，∴FC/EG=BC/BG，FC=AC/(n²-n+1)，F为AC的中点时，FC=AC/(n²-n+1)=AC/2，n²-n+1=2，n=(1+√5)/2,或n=(1-√5)/2(舍去)。