Question

关于反函数的二阶导数问题，求解答

请先认真看完我的问题再回答
就是我们在学高阶导数的时候一道例题里提出的关于反函数二阶导数的问题，关于书上的解答我没怎么看懂，问老师，我还是没怎么听明白，就是想谁帮我详细的用这个方法求一下
y=e^x的反函数的二阶导数是什么,按照正确方法来说应该是(-1)y''/(y')^3,请不要照搬书上的原话,我想听一下自己的意见,我已经纠结这个问题好久了,还有就是像我这样学到高阶导数的人有必要挖掘到这种地步,还是知道怎么求就行,谢谢解答

Answer 1

方法一：你先求出反函数，再求一阶导，之后再求次导
方法二：不求反函数，利用反函数的导数与原函数的导数之间的关系，求出一阶导，之后再求二阶导。你的结论是由这种方法得到的，不过你的答案不对，是平方而不是3次方。
这种问题重要的是你要掌握方法，针对不同的问题，你能求出高阶导就行。
这种单独函数的高阶求导，五阶之内就是一阶一阶求的，多了，就推测，再证明，最后得结果

Answer 2

(1/y')'=(y'^(-1))'=(y')'(-1)(y')^(-2)
错啦
左边是要求对x求导，所以(1/y')'的外面的导数应该是对x,而里边的y'是y对x导数
所以应该用x过渡一下：1/y'--->x---->y
即先让1/y'对x求导，(1/y')'=(y'^(-1))'=(y')'(-1)(y')^(-2)
再乘以x对y求导 1/y'
故答案为（-1)y''/(y')^3

Answer 3

必须理解,
解决这类问题，必须回答这些问题：
1、这个函数是关于谁为自变量的函数（在多元函数求偏导很重要）
2、你是在对谁求导，要明确（别小看这，做着做着你就会忘记）
y=e^x的反函数的二阶导数是什么？
(-1)y''/(y')^3,？？？？？
求反函数：y=lnx 对吗，
求二阶导数，肯定是对x求导啥~ -1/x^2
一维的情况很简单，重点在二维；原函数与反函数的知识会一种就够，性质知道，这就够了；
把我上面写那两条记住了，然后去做题，问题就不大了

追问

很抱歉，你说的我有点没看懂，答案到底是不是我说的啊(1/y')'=(y'^(-1))'=(y')'(-1)(y')^(-2)
=-y''/y'^2，要是这么做的话，哪里出现分什么对谁求导

追答

一维的不存在这些，二维以上的才存在
一维的情况，高中就学过，大学还不会么？

这么说吧，你的那个是个复合函数，懂不，要分两次求，而且要记住的是y'的自变量仍然是x;
这个很简单的，不懂继续问，我不信讲不懂你

追问

就是在说二阶的啊，像教科说上说是d（1/y')/dy,按照理解来说,应该是1/(y')中的X,用dx/dy吧,不理解,而且按照正常的做法就像我的上个追问写的为什么不对

追答

d（1/y')/dy
表示的是1/y'这函数对y求导，虽然它是关于x的自变量，告诉你1/y'还可以对z,m,c,p。。。对什么都行；因为z有可能又与x产生联系；

1/y')'=(y'^(-1))'=(y')'(-1)(y')^(-2)
=-y''/y'^2 这个是对的~

追问

那和书上的答案还是对不上啊，书上就说的怪麻烦你的是3次方的那个，你第一个回答的，分就给你了，怪麻烦你的