Question

一道不等式大小比较题

已知a.b.c满足a.b.c∈R+，a²+b²=c²，当n∈N，n＞2时，比较c^n与（a^n）+(b^n)

Answer 1

你好！

cⁿ>aⁿ＋bⁿ。

证明如下：
因a、b、c都是正数，
且a²＋b²=c²，即(a/c)²＋(b/c)²=1
则(a/c)<1、(b/c)<1。
(aⁿ)/(cⁿ)=(a/c)ⁿ=(a/c)^(n－2)(a/c)²<(a/c)²
同理，有：(bⁿ)/(cⁿ)<(b/c)²
∴(aⁿ)/(cⁿ)＋(bⁿ)/(cⁿ)<(a/c)²＋(b/c)²=1
即： (aⁿ)/(cⁿ)＋(bⁿ)/(cⁿ)<1
故cⁿ>aⁿ＋bⁿ。