Question

高二数学直线方程问题

1，设a,b,c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是_______ 2，两条互相平行的直线L1与L2分别经过定点A(6,2)和B(-3,-1)，并各自绕定点旋转，设L1与L2间的距离为d,(1)求d的变化范围 （2）当d最大时，求L1与L2的方程 3，已知△ABC的顶点A（3，-1），AB边上的中线所在的直线方程为3x+7y-19=0，AC边上的高所在的直线的方程为6x-5y-15=0，求BC边所在直线方程

Answer 1

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1．L1：sinA•x+ay+c=0与L2：bx-sinB•y+sinC=0的斜截式方程分别为： </p>
<p>L1：y=[-(sinA)/a]•x-c/a与L2： y=(b/sinB)•x+sinC/sinB. </p>
<p>由正弦定理：b/sinB=a/sinA，所以[-(sinA)/a]•(b/sinB)=-1， </p>
<p>L1、L2的斜率互为负倒数，所以两直线垂直。 </p>
<p>
2．直线AB的方程为：(y-2)/(x-6)=(2+1)/(6+3)，即y=x/3，斜率k=1/3，|AB|&sup2;=(2+1)&sup2;+(6+3)&sup2;=100，|AB|=10. 在保持平行的前提下，L1、L2各自绕定点旋转，当旋转到重合时，L1、L2、AB三条直线重合，此时d=0; 当旋转到L1、L2两条直线都与AB垂直时，d最大，此时d=|AB|=10. 所以0≤d≤10. </p>
<p>
3．设AC边上的高为BD（垂足为D），已知直线BD的方程为6x-5y-15=0，斜率为6/5，所以直线AC的斜率为-5/6，又A（3，-1），所以直线AC的方程为：y+1=-5/6•(x-3)，一般式：5x+6y-9=0. </p>
<p>设AB边上的中点为E，已知直线CE的方程为3x+7y-19=0，与直线AC的方程：5x+6y-9=0联立，求得C（-3，4）. </p>
<p>作EF⊥AC于F，则EF//BD，因为E为AB中点，由平行截割定理知，2|FD|=|AD|，而|FD|等于E到BD的距离，设E(e,(19-3e)/7),所以有 </p>
<p>2|6*e-5*(19-3e)/7-15|/√(6&sup2;+5&sup2;)=|6*3-5*(-1)-15|/√(6&sup2;+5&sup2;), </p>
<p>即|57e-200|=28，得到e的两个值：4 or 172/57，所以，满足条件的E点有两个：E1(4,1)、E2(172/57,27/19). </p>
<p>设B(p,q)，因为E为AB中点， </p>
<p>对于E1(4,1)，A(3,-1),(p+3)/2=4,(q-1)/2=1,B1(5,3)； </p>
<p>对于E2(172/57,27/19)，A(3,-1),(p+3)/2=172/57,(q-1)/2=27/19,B2(173/57,73/19),将B2(173/57,73/19)代入BD的方程6x-5y-15=0，不成立，舍去。 </p>
<p>所以B(5,3)，直线BC的方程为：(y-4)/(x+3)=(3-4)/(5+3)，即x+8y-19=0</p>
<p></p>