Question

如果实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3那么x2+y2的最大值是 最小值是 y/x的最大值是 最小值是

如果实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3那么x2+y2的最大值是 最小值是 y/x的最大值是 最小值是

Answer 1

设 x =√3 cosθ + 2 , y = √3 sinθ
x² + y² = (√3 cosθ + 2)² + (√3 sinθ)² = 4√3 cosθ + 7
7 - 4√3 ≤ x² + y² ≤ 7 + 4√3

y/x =√3 sinθ/(√3 cosθ + 2)
令f(θ) =√3 sinθ/(√3 cosθ + 2)
f'(θ) = [√3 cosθ* (√3 cosθ + 2) - √3 sinθ* (-√3 sinθ) ]/(√3 cosθ + 2)²
= (2√3 cosθ+ 3) / (√3 cosθ + 2)²
令f'(θ) = 0 , cosθ= -√3/2
即cosθ= -√3/2 时y/x = f(θ) 有最值
cosθ= -√3/2 , sinθ= 1/2时 y/x 最大值√3
cosθ= -√3/2 , sinθ= -1/2时 y/x 最小值 -√3

Answer 2

（1）令 x =√3cosθ + 2 , y = √3 sinθ
x² + y² = (√3 cosθ + 2)² + (√3 sinθ)² = 4√3 cosθ + 7
又-1≤ cosθ≤1 所以7 - 4√3 ≤ x² + y² ≤ 7 + 4√3
（2）令y/x=t，y=tx代入方程得（t²+1)x²-4x+1=0
由于0≤△=4²-4（t²+1)，解得-√3 ≤ t≤ √3

Answer 3

(x-2)^2+y^2=3可以看成圆形方程，圆心为（2，0），半径为√3
√（X^2+Y^2）即为圆上的点离原点（0，0）的距离，最大为2+√3，最小为2-√3
即 X2+Y2的最大值为（2+√3）^2，最小值为（2-√3）^2

Answer 4

无解

追问

过程……