Question

高等数学！！！！！

15.7题，为什么由特解就知道齐次方程的特征根

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Answer 1

答案A

方法如下图所示，

请作参考，

祝学习愉快：

Answer 2

二阶常微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解是这样构成的：
(一). 若齐次y''+p(x)y'+q(x)y=0的特征方程有不相等的两个实根λ₁≠λ₂，则其余函数为：
y=c₁e^(λ₁x)+c₂e^(λ₂x)；题目已求出 c₁=1/2；c₂=-1/3；λ₁=2, λ₂=1;
(二)。特解y*，(本题中y*=xe^x)；则原方程的通解为：y=c₁e^(λ₁x)+c₂e^(λ₂x)+y*;
代入积分常数即得原方程的特解：y=(1/2)e^(2x)-(1/3)e^x+xe^x
所以由此特解可知 λ₁=2, λ₂=1;

Answer 3

常微分方程的根都满足特定形式的，如果你找到书上关于特征方程法求解的各种形式下的特解（通解）公式，你就可以看出这恰好是满足该特征根的特解

Answer 4

听完这场高等数学思政课，

学渣小编也热血沸腾爱上高数了~~
编
者
按
遇上一位好老师，开启人生智慧；
上一门好课，影响一辈子事业的选择；
好课启智，好师育魂.
让我们跟随李雪飞老师一起叩响高等数学学习之门，踏上“秒杀”高数难题之路吧......
特别说明：这是李雪飞老师为刚入大学校门的学生讲的第一堂高等数学课，本文为课堂实录文字版，下文中将以第一人称讲述，感谢李老师让我们感受到这么激情这么“燃”的高数课堂！
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同学们，早上好！今天是“数学课程思政”系列讲座的第一课，也是我们高等数学动员课！非常高兴跟大家交流一下《高等数学》 这门课程的学习。
首先自我介绍一下，我是数学教研室的老师，我叫李雪飞，高中毕业于河北衡水中学，我的本科、硕士、博士均学习数学相关专业，除了专业学习以外，我兴趣广泛，以后上课多了越来越熟悉，同学们就知道我不仅仅只会教你们高等数学（笑）。

从2003年到2013年，十年高校学习经历，从2013年到现在，已经做了6年高校教师，对同学们即将开始的大学学习生活可以说是十分熟悉，大家以后有任何学习生活上的问题和烦恼都可以来找我。
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作为过来人，下面跟你们交流一下：为什么要认真学习《高等数学》这门课程，高等数学究竟要学什么、怎么学，还有大家最关心的这门课程怎么考，以及怎么进一步巩固这门课程的学习效果。
一、为何学
（课堂画外音：数学的重要性部分，内容大量借鉴了张恭庆院士的文章《数学与国家实力》，在此特别感谢）
大家在大学期间学习的数学课程就两门：《高等数学》和《工程数学》，我们先来看看学习数学这门学科知识的重要性。
古往今来，无数科学大家赞美数学，数学是他们研究的基石，思考的脉络，甚至是灵感的来源。这里列举了几个名人说的话：

英国的哲学家罗杰培根说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。

黑格尔说：数学是上帝描述自然的符号。

恩格斯说：要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。
你看两位哲学家的观点一致，为什么必须掌握数学才能辩证而又唯物地了解自然呢，因为数学是上帝描述自然的符号，你只有掌握这种语言符号，才能进一步了解自然。
所以，作为“计算机之父”（同时也是数学家）的冯诺依曼说：数学处于人类智慧的中心领域。所以我们要掌握好数学，从而对其他边缘领域“降维打击”。
历史证明，数学实力往往影响着国家实力，世界强国，必然是数学强国。数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求。
17-19世纪英国、德国、法国，既是欧洲的强国，也是数学强国。英国数学家牛顿、德国数学家莱布尼茨发明了微积分，法国数学家拉格朗日、柯西等丰富和完善了微积分，解决了许多力学、天体学、几何学上的难题。

19世纪，俄罗斯数学开始崛起，到了20世纪，苏联成为世界上数学强国之一，特别是1958年苏联成功发射了第一颗人造地球卫星，轰动了全世界，当时美国总统肯尼迪了解到苏联成功发射卫星的原因之一，是苏联在卫星发射相关的数学领域处于世界领先地位，此外苏联重视数学教育，为基础科学研究提供了雄厚的研究基础。于是肯尼迪下令大力发展数学。

二战以后，美国逐渐从数学落后的状态发展成今天的数学超级大国。得益于对数学的重视，二战前，德国纳粹排斥犹太人，大批欧洲犹太籍数学家（当然也有其他国籍的数学家）移居美国，使得美国迅速成为一个数学强国，尤其是原子弹的研发，为美国打胜二战、提升战后经济实力做了巨大贡献，后来苏联解体、东欧解体后，美国又抓紧时机吸纳了其中大批优秀数学家，足以看出，数学学科的战略地位。
那么，为什么世界上的强国这么重视数学的强大呢？
就是因为数学的基础性！

任何一门成熟的科学都需要用数学语言来描述，在数学模型的框架下来表达它们的思想和方法。当代数学不仅继续和传统的邻近学科保持紧密的联系，而且与一些过去不太紧密的领域的关联也得到发展，形成了数学化学、生物数学、数学地质学、数学心理学等众多交叉学科。
数学在模拟智能和机器学习中也起了很重要的作用，包括：环境感知、计算机视觉、模式识别与理解以及知识推理等。
“大数据”的核心是将数学算法运用到海量数据上，预测事情发生的可能性。人们普遍认识到研究大数据的基础是：数学、计算机科学和统计科学。马克思说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。
今天的技术科学如信息、航天、医药、材料、能源、生物、环境等都成功地运用了数学。
数学是各门科学和技术的语言和工具，数学的概念、公式和理论都已渗透在其他学科的教科书和研究文献中。许许多多数学方法都已被写成软件，有的数学软件作为商品在出售，有的则被制成芯片装置在几亿台电脑以及各种先进设备之中，成为产品高科技含量的核心。
咱们再举一个数学重要的例子。跟着我看一看数学跟国防的关系。
这里给大家介绍三个人——冯.诺依曼、乌拉姆、图灵。这三个人都是二战时期为盟军做出重要贡献的数学家。
第一位是20世纪顶级数学家——冯.诺依曼，也是第一台电子计算机程序和存储的研制构思者。他对美国原子弹的制造做了两大贡献：一是为找到用快速计算机去模拟计算原子弹的爆炸过程和爆炸威力的“数学化”途径做出重要贡献；另外就是研究爆聚炸弹，就是把一些炸弹、原子弹捆绑起来发出更大的威力。

第二位是美籍波兰裔数学家——乌拉姆。他从欧洲逃到美国后参加了曼哈顿计划。为了模拟核实验，他发明了蒙特卡罗计算方法。最先成功的氢弹构型叫做泰勒-乌拉姆构型，就是由乌拉姆和美籍匈牙利裔物理学家爱德华.泰勒提出的。其中，泰勒是杨振宁的博士导师。

第三位是英国数学家——图灵。了解一些人工智能的同学们一定不会陌生他——图灵被誉为“人工智能之父”，以他名字命名的“图灵奖”被誉为“计算机界的诺贝尔奖”，他被评为20世纪100个最重要的人物之一。二战中，他与一些优秀数学家一起，最终破译了德军所用的密码体制，做出巨大贡献，获得英国皇室授予为国家和人民做出巨大贡献者的最高荣誉勋章——“不列颠帝国勋章”。由于受到不公的对待，仅仅活了42岁，很可惜啊。图灵绝对是一个传奇般的人物，大家感兴趣可以去百度一下。
上面这三位数学家，仅仅是二战中大量数学家的缩影。在未来战争中，数学的作用将更为突出，以往拼刺刀式、靠个人蛮力式的场面将越来越少，更多的是利用信息化技术、先进的武器装备、信息决策系统和战术战法。
在武器方面有核武器、远程巡航导弹等先进武器的较量；在信息方面有保密、解密、干扰、反干扰的较量；对策方面有战略、策略、武器配制等方面的较量。每一项都和数学有紧密的关系。
举个例子：核反应过程是在高温高压下进行的，核爆炸的巨大能量在微秒量级的时间内释放出来，很难在核试验中测量出核爆炸内部的细微过程，只能得到一些综合效应的数据。但通过核反应过程的数学模型，进行数值计算却可以给出爆炸过程中各个细节的图像、定量的数据以及各种因素与机制的相互作用。在参加全面禁止核试验条约后，通过数值计算模拟核试验就更重要了。

此外，有报道说数学的威力——《一个方程将卫星图像质量提高30%》，在文章《解好战场制胜数学题》中也提到善“算”是古今中外兵家普遍认同的重要制胜法则、确立精算理念是掌握现代战场制胜权的重要前提、“秒算”主导战场态势是未来战争的必然趋势。这些足以说明，未来无论是在国计民生还是在国防方面，数学的地位越来越重要，大家是祖国的未来，还是要学好数学的。
除了上面提到的未来工作生活中处处会用到数学工具之外，学习数学，在学习过程中不断形成数理思维、结构化思维，对于我们思维发展同样具有极大的促进作用。

以后对专业深入的了解，大家会发现专业中的许多问题跟我们本科阶段面对的数学问题是极为相似的，原因就是相似性原理，相似性在宇宙万事万物中是普遍存在的，工作中会遇到大量的复杂性问题、确定性/不确定性问题、模糊性问题、灰色问题等等，这种复杂性、确定性/不确定性、模糊性问题在数学中也是大量存在的。

在处置和解决这些问题时，尤其是在大数据环境下，简单的拍脑袋、凭经验决策不仅难以解决问题，甚至可能会发生致命的错误。
我们在学习数学知识，求解数学问题时，如果问题很难，你可能会出现沮丧、退缩等情绪，用理性约束自己，进行思维上的训练，包括：抽象化、研究问题的影响要素、假设推理、逻辑分析、运用符号，进而建立数学模型、计算模型、分析结果、具体实施，解决数学问题，如果结果不理想，回过头来再调整模型，进行优化，通过反复的这种训练，不断形成一种数理思维、结构化思维，不断树立精算、深算意识和积极进取、攻坚克难的行为模式。
演绎推理、逻辑证明使人在工作中的思路更为清晰，推理更严密；深算、精算、细算是实施精确工作的重要手段，充分运用数理思维，从繁杂的信息中抓住关键环节形成精确严谨的工作实施计划。
若这种思维能力欠缺，就可能理不出头绪，造成决策迟缓，甚至概略决策、模糊决策，使下级难以执行和操作。空间感知能力、逻辑推理能力、逆向思维与发散思维、信息决策能力等是未来专业人才不可或缺的能力素养！
而在数学学习中，体会问题的复杂性、模糊性、确定性与不确定性，思考数学知识脉络上的逻辑性、继承性、相似性，感悟数学概念、原理的本质内涵、哲学属性以及美学价值，逐步培养数理思维，是有效进行知识迁移，应对各种复杂性、不确定性、突发性，树立深算精算意识和大局观，形成专业思维的重要途径。
《高等数学》作为我们大学数学的重要组成部分，作为大家入学后的第一门理工课程，所含的知识可以用来解决大量的实际问题，比如兰彻斯特方程、确定飞机降落曲线、炮弹运动轨迹、飞行员座椅压力等等，所受到的训练和学习体验将为你们后续学习、工作奠定基础、提供经验和树立信心。

这一点，虽然你无法立马可见，毕竟我们无法像伟人一样眼光长远，但无数先行者告诉我们，认真学好数学课程，她将给予你未来无限好的风光！
二、学什么
前面，我重点讲了为什么要学好高等数学，我认为，如果你认同其重要性，树立积极的学习态度，那么后面学什么、怎么学、怎么考将都不再是问题。因为，我们学习的不是数学专业生的数学，而是更加侧重知识的应用、计算和内涵理解。可能在座的有文科生，会觉得自己学习高数有难度。实话讲，高数的学习是有难度的，里面涉及到的定义、定理通常不是那么好理解，但是，它的难度还不足以区分文理。也就是说，这是一门有点难度、需要你端正学习态度就能学好的课程，还没有难到文科生无法掌握或学不好的程度。
第二个方面，高等数学课程的内容。从这张图中，大家可以看出，高等数学包括六个模块：空间解析几何与向量代数、函数的极限与连续性、微分学及其应用、积分学及其应用、无穷级数、微分方程。
高等数学主要研究的对象是函数，空间解析几何与向量代数将函数由熟悉的一元引向多元，微分学和积分学是重点部分，研究函数的微分学性质和积分学性质，微积分的理论基础是极限理论，无穷级数和微分方程是在微积分知识的基础上，研究级数、研究函数与其导函数关系。
其中部分内容大家在高中阶段已经接触，比如数列、空间向量与立体几何导数及其应用、定积分与微分基本定理等等，这些内容在高等数学中，更为系统，你将在其中发现它们的全貌和数学之美。
六个模块分别对应着教材的不同章节，大家以后在看书学习的时候要结合着整个模块从宏观上把握知识点的联系和脉络。
三、怎么学

人类的学习具有明显的个体差异性，但是同样也存在突出的规律性！
这里把我总结的高等数学学习方法跟大家交流一下，可以总结为：一个方法论、两个基本要素和若干实施策略。三者的重要程度依次下降，其中方法论、基本要素决定了你学习高数达到境界，起到方向指引作用，若干具体的实施策略可以根据自己的实际情况选择性调整。
首先一个方法论是：内外兼修，阴阳相辅。它符合中国传统哲学的观点，好比修炼绝世武功，内功、外功修炼缺一不可。我们学习高等数学，也要修炼好内、外功。
两个基本要素，第一个要素是：态度；第二个要素是：在勤奋的基础上独立思考。
实施策略有很多，这里给大家列举几个：
提升学习过程质量
注意，学习是个循序渐进的过程。道理虽然都懂，但是在实际中往往忽视了这一点，或者是不去规划自己的学习过程。不要以为仅仅上课听懂了老师讲的内容，就真的学好了，这样没几次课，所学的东西就会出现遗忘、混淆甚至是混乱，久而久之就掉队了，打击自己的学习信心。
所以，听完课之后，一方面要通过老师布置的作业题来检测自己，甚至是进一步通过作业题来深化、夯实学习效果，一道题不会，通过研究、讨论，甚至是寻找答案搞懂，这就是真正的学习；
另一方面，做了一些题，要结合自己的理解去进一步深挖这堂课中数学概念、定理的内涵，想一想实际生活中有哪些事物、道理跟其相似，不断地进行深度思考。
很久以后，当你接触过很多不同层次的人之后，或许你才会发现，真正的
牛人、很厉害的人，无一不是擅长深度思考的人。
课上坚持做笔记
这一点因人而异，的确有很多学霸从不做笔记，的确有很多学习平平的笔记做的工整好看。
但对于一般人而言，我建议你坚持做笔记。原因有两点：
第一，做笔记不容易犯困，自己上课有个追求，最低层面就是把这堂课关键点记录下来，自己是带着任务来的，这点是个人经验；第二，老师讲的内容一定是考试的内容，明白吗？笔记记什么？不要全部都记，如果老师不提供PPT，那么只记录老师讲过的题，概念、定义、定理一概不记，只听，只在自己总结时才写写，上课就记录题！边自己算，边记录，如果算的快，就先写出来，然后老师给出正确答案后再对照。如果老师提供PPT，那么就想办法把PPT缩放打印出来，从头到尾形成完整的资料。
另外还要注意，笔记的速度一定要快，跟上节奏。一节、两节课跟上没什么难度，难就难在坚持，要敢于攻坚克难，磨炼毅力。这里给大家推荐一种笔记方法，叫康奈尔笔记法（小编画外音：必须给李老师点个赞，教数学还教记笔记的方法，简直是买一送多，物超所值啊）。
坚持小组协作学习
这里给大家介绍世界上公认的最好的学习方法——费曼学习方法，它符合学习金字塔理论。为啥费曼学习法为何是公认的最好的学习方法呢？
“借光”图书馆
一定要趁着年轻的时候多读点书！并且要不断树立终身学习的意识，只要想进步，想收获更好的人生，就得不断学习！
我们是社会主义接班人，不能仅仅将眼光局限在自己的身边、自己的小环境，要明白，未来出现在工作生活上出现难啃的“骨头”和强大的“敌人”，一定会为今天不努力的我们而高兴。
所以无论是学习数学也好，还是其他知识，一定要好好加油！要充分利用好图书馆。
“问烦”授课教师
这一点的意思是，一定要脸皮厚一点，针对自己不明白的问题，不厌其烦的问老师，当然老师是不会被问烦的（笑声） ， 你越是问，老师就越高兴！
这里有两点需要注意：
一是一定要充分做足了功课再问，书都没看，没有经过自己的深度思考，就问老师，效果通常不好。可以结合着老师讲的题，哪里不懂问哪里，可以先记下来，课间再问，也可以课后找时间去老师办公室追着问，甚至可以上课打断老师直接问。老师最怕的、也最反感的就是气氛沉闷，有问题不问、或是没有思考也没有问题，这就好比没有反馈，老师很难知道你们学懂了几分。

第二，就是老师在独自给你讲的时候，不要碍于面子，不懂装懂，明明没有明白，却在不断地点头，或者是想当然，这也不可取。学习中谁都会遇到问题，正如人生中也会不断地遇到不可回避的问题，是避重就轻？还是掩耳盗铃？是沮丧颓废？还是破罐破摔？只有迎难而上，努力的寻找各种解决问题的办法，争取做一个内心强大的人。
四、怎么考

考试大家都特别关注哈，把成绩考核方式和图片放在这里。
五、怎么更进一步

参加建模竞赛：数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析一个实际问题时，人们就要在深入研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。通过训练和参赛，提升学习能力、反思能力、团队协作能力、文字表达能力等多方面能力，强调数学素养的培育对未来职业发展的促进作用。

全国大学生数学竞赛：为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，举办全国大学生数学竞赛。
两个竞赛的具体信息可以查询网站，竞赛报名前学校也会有通知，欢迎同学们关注。
六、怎么找到我们？

同学们，在学习生活各个方面有疑问和问题，可以找我，这是数学系办公地点，欢迎大家多交流~~
最后，为大家展示几张优美的函数图像，这些你们可能会在高等数学课堂中再次见到，总之未来的高数课程无限精彩，有无数的数学之美等待着你去发现，我们课堂上见！谢谢大家。
写在最后的话本次课目标设计：重点加强同学们的学习动机和厘清学习方法。其中学习动机部分（数学的重要性）大量借鉴了张恭庆院士的文章《数学与国家实力》，张院士的文章高屋建瓴，本人在准备此次课的过程中反复阅读，受用万分，在此表示感谢！并推荐给大家！PPT中用到的大量图片均来自公开网络，在此一并表示感谢。
本书图片均来自李雪飞老师制作的精美的PPT，尤其感谢李老师制作精美、逻辑严谨、提纲挈领的高等数学知识框架图，让我们一图了解高等数学知识框架，必须点赞。
本文编辑整理排版：张中兴（科学出版社数学编辑）
《高等数学新理念教程（上下册）》依据《理工类本科高等数学课程教学基本要求》写作而成，适用于高等院校理工类非数学专业高等数学课程教学。
与传统“高等数学”教材编写不同，《高等数学新理念教程（上下册）》重构了高等数学课程知识体系，对极限部分，从多元函数开始讲述，极限的定义采用集合的观点，增加定义的直观性；在微分学部分，从多元函数开始讲述，使微分学的概念更易于理解；在积分学部分，首先给出了空间流形上积分的定义，便于读者对各类积分概念形成统一认识，减少了教学中不必要的重复.对于其他内容，我们也进行了必要的简化。
本书将现代数学的基本思想融人到高等数学的教学内容中.希望通过本书使高等数学的教学达到起点高、易于学习、缩短学时的目的。本书分上、下两册，上册包括空间解析几何与向量代数、极限与连续、微分学三部分；下册包括积分学、微分方程初步、无穷级数三部分。
《高等数学新理念教程（上下册）》可作为高等院校理工类非数学专业高等数学课程用书，也可作为新工科背景下高等数学教学实践的尝试用书以及大学数学教师的参考用书。
面图片来源：Pixabay
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