Question

设存在常数k

设A为n阶方阵,且R（A）=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使（A*）^2=kA*

Answer 1

R(A)=n-1
=> |A|=0
=>AA*=|A|E=0
又因为R(AA*) 》R(A)+R(A*)-n
因此R(A*)《 1
有因为R(A)=n-1,即至少有一个n-1阶子式不等于0,即R(A*) 》1
所以R(A*)=1
=>A*=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn) (即A能表示成一个行向量乘以列向量)
=>(A*)^2=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)=(a1,a2,...an)^Tk(b1,b2,...bn)=kA*
其中k=(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^t (这是一个数,因为1Xn X nX1=1)
更一般的(A*)^m=k^{m-1}A*