Question

已知函数f(x)=x+ax(a∈R)(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)...

已知函数f(x)=x+ax(a∈R) (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性; (2)若f(x)≤2x+1对于x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围. (3)若g(x)=[f(x)-2a]x在[1，2]的最小值为4，求a的值.

Answer 1

解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称
对于任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
可得f(-x)=-x-
a
x
=-f(x)，
所以f(x)为奇函数;
(2)根据f(x)≤2x+1对于x∈[1，+∞)恒成立，
可得f(x)-(2x+1)≤0对于x∈[1，+∞)恒成立，
所以f(x)-(2x+1)=x+
a
x
-(2x+1)=
a
x
-x-1=
-(x+
1
2
)2+a+
1
4
x
≤0对于x∈[1，+∞)恒成立，
所以-(x+
1
2
)2+a+
1
4
≤0对于x∈[1，+∞)恒成立，
即a+
1
4
≤(x+
1
2
)2对于x∈[1，+∞)恒成立;
由x∈[1，+∞)，可得(x+
1
2
)2≥
9
4
，
所以a+
1
4
≤
9
4
，解得a≤2，
故实数a的取值范围是[2，+∞);
(3)g(x)=[f(x)-2a]x=(x+
a
x
-2a)x=x2-2ax+a，
g(x)的图象开口向上，对称轴x=a，
g(x)=[f(x)-2a]x在[1，2]的最小值为4，
①a＜1时，x=1时，g(x)min=g(1)=1-a=4，
解得a=-3;
②1≤a≤2时，x=a时，g(x)min=g(a)=a-a2=4，
此时a无解;
③a＞2时，x=2时，g(x)min=g(2)=4-3a=4，
解得a=0(舍去)
综上，a=-3.