Question

高数一道隐函数求导的题目，有图求过程

请问红线部分是什么意思呢，不像对x求导和对y求导啊。
这题目用公式法-F(x)/F(y)怎么解呢

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Answer 1

求解过程中，首先求出x＝0时，函数值y＝1；依次再求出x＝0时，y’对应的导函数的值。

未完待续

重复上述过程求出二阶导数在x＝0处的值。

供参考，请笑纳。

Answer 2

方程 e^y+xy=e确定y=y(x)；求dy/dx ; d²y/dx²；
解法一：方程两边直接对x求导。用此法注意：e^y是y的函数，而y又是x的函数，因此将e^y
对x求导时要用复合函数的链式法则，即d(e^y)/dx=[d(e^y)/dy][dy/dx)=(e^y)y'；
同样，其中xy是x和y的函数，∴d(xy)=(dx/dx)y+x(dy/dx)=y+xy';
∴有你画红线的式子：（e^y)y'+y+xy'=0；∴y'=-y/(x+e^y)
再求导一次：(e^y)(y')²+(e^y)y''+y'+y'+xy''=0，即有 (e^y)(y')²+(e^y)y''+2y'+xy''=0.
∴y''=-[(e^y)(y')²+2y']/(x+e^y);
把上面已求出的y'代入，即得:
y''=-[(e^y)y²/(x+e^y)²-2y/(x+e^y)]/(x+e^y)=[-(e^y)y²+2y(x+e^y)]/(x+e^y)³
=[2y(x+e^y)-(e^y)y²]/(x+e^y)³;
解法二：用隐函数求导公式：
设F(x，y)=e^y+xy-e=0，那么:
y'=dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-y/(x+e^y);
注意：上面是求偏导数，x和y处于同等地位，不要再使用链式法则。
d²y/dx²=dy'/dx=[-(x+e^y)y'+y(1+y'e^y)]/(x+e^y)²
【这里是求全导数，所以要继续使用链式法则，道理与前述相同】
=[2y(x+e^y)-(e^y)y²]/(x+e^y)³;
【将上面已求出的y'代入并化简即得。】

Answer 3

就是两边对x求导！
注意，y时x的函数
e^y为复合函数，
先对e^y整体求导，为指数函数，则导数为e^y,再对y求导，为y'
同理,xy对求导，=y+xy'
所以……

追答

用公式法时，对x求导F'x，y看成常数，对y求导F'y，x看成常数

Answer 4

Answer 5