Question

若数列An={an}：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1-ak|=1（...

若数列An={an}：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），则称数列An为E数列，记S（An）=a1+a2+…+an． （Ⅰ）写出一个满足a1=a9=0，且S（A9）＞0的E数列A9； （Ⅱ）若a1=13，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2012．

Answer 1

（Ⅰ）解：0，1，2，1，0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A9．
（答案不唯一，0，1，0，1，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A9）
（Ⅱ）证明：必要性：因为E数列A2000是递增数列，
所以ak+1-ak=1（k=1，2，…，1999）．
所以A2000是首项为13，公差为1的等差数列．
所以a2000=13+（2000-1）×1=2012．
充分性：由于a2000-a1999≤1，
a1999-a1998≤1
…
a2-a1≤1
所以a2000-a1≤1999，即a2000≤a1+1999，
又因为a1=13，a2000=2012，
所以a2000=a1+1999．
故an+1-an=1＞0（k=1，2，…，1999）即An是递增数列．
综上，结论得证．