Question

如何证明当X趋于0时，secX-1与1/2X^2是等价无穷小？

Answer 1

你好！

若当x→0时，f(x)、g(x)都是无穷小
那么它们是等价无穷小的条件是lim<x→0>f(x)/g(x) =1

lim<x→0> (secx -1) / (x²/2)
=lim<x→0> (sinx / cos²x) / x 【罗比达法则】
=lim<x→0> (sinx /x) / cos²x
= 1
故x→0时，secx -1与1/2 x²是等价无穷小。

追问

你好，我们并没有学到罗比达发则，只用普通方法不能做么？

追答

可以。
lim (secx -1) / (x2/2)
=lim[ (1-cosx) / cosx ] / (x2/2)
=lim2sin2(x/2) /[cosx (x2/2)]
= lim [sin(x/2) /(x/2)]2 /cosx
= 1