用微分的中值定理 怎么证明
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(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²=√(1+a²)-√(1+b²)
设a>b, 则由柯西中值定理知存在c介于a, b之间使得
[arctana-arctanb]/[(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²]=[arctana-arctanb]/[√(1+a²)-√(1+b²)]=(arctanx)'/[√(1+x²)]'|{x=c}=[1/(1+c²)]/[c/√(1+c²)]=√(1+c²)/c>1, 即
(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²<arctana-arctanb
[(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²]/[arctana-arctanb]=[√(1+x²)]'/(arctanx)'|{x=c}=[c/√(1+c²)]/[1/(1+c²)]=c/√(1+c²)<1
设a>b, 则由柯西中值定理知存在c介于a, b之间使得
[arctana-arctanb]/[(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²]=[arctana-arctanb]/[√(1+a²)-√(1+b²)]=(arctanx)'/[√(1+x²)]'|{x=c}=[1/(1+c²)]/[c/√(1+c²)]=√(1+c²)/c>1, 即
(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²<arctana-arctanb
[(a-b)/√(1+a²)√(1+b)²]/[arctana-arctanb]=[√(1+x²)]'/(arctanx)'|{x=c}=[c/√(1+c²)]/[1/(1+c²)]=c/√(1+c²)<1
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