Question

在三角形ABC中D为BC中点E在AC上且向量AE=2向量EC，AD与BE交于F，设向量AD=a，向量AC=b

在三角形ABC中D为BC中点E在AC上且向量AE=2向量EC，AD与BE交于F，设向量AD=a，向量AC=b（1）用a，b表示向量AB（2）若向量AF=t向量AD，求实数t的值

Answer 1

AD=a,AC=b,所以有 AE=(2/3)b,EC=(1/3)b,DC=b-a,BC=2(b-a).
AB=AE+EB= (2/3)b+ ( (1/3)b- 2(b-a) )=a-b；

先作DG// BE 交AC 于G ，由于D是中点 所以G 也是CE的中点；
所以 t= AF/ AD= AE/ AG= 4/5。

Answer 2

向量AB+AC=2AD,AB=2AD-AC=2a-b

延长BF到G，连接CG,使CG∥AD，利用三角形相似可以得CG=AF/2，FD=CG/2，
∴AF=4FD,AF=4AD/5，
所以t=4/5