Question

对角线元素为1+ai(i=1，2，…n)，其他元素为1，矩阵的逆是什么？

对角线元素为1+ai(i=1，2，…n)，其他元素为1，矩阵的逆是什么？

Answer 1

解: (A,E) =
1+a1 1 ... 1 1 0 ... 0
1 1+a2 ... 1 0 1 ... 0
... ... ... ...
1 1 ... 1+an 0 0 ... 1

ri-rn, i=1,2,...,n-1 --所有行减第n行
a1 0 ... -an 1 0 ... -1
0 a2 ... -an 0 1 ... -1
... ... ... ...
1 1 ... 1+an 0 0 ... 1

ri*(1/ai), i=1,2,...,n-1
1 0 ... -an/a1 1/a1 0 ... -1/a1
0 1 ... -an/a2 0 1/a2 ... -1/a2
... ... ... ...
1 1 ... 1+an 0 0 ... 1

rn-r1-r2-...-rn-1
1 0 ... -an/a1 1/a1 0 ... -1/a1
0 1 ... -an/a2 0 1/a2 ... -1/a2
... ... ... ...
0 0 ... b 0 0 ... c
其中 b=an(1+1/a1+1/a2+...+1/an-1+1/an)
c = 1+1/a1+1/a2+...+1/an-1

好复杂, 之后, b≠0时A可逆, 最后一行乘 1/b, 把第n列其余元素化成0, 就可以了.

Answer 2

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