Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数F（x...

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0． （Ⅰ）令ω=1，求函数F（x）=f（x）+f（x-π3）的单调递增区间； （Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点：a1，a2，a3，…，a20，求实数m的取值范围并求a1+a2+a3+…+a19+a20的值．

Answer 1

解：（I）当ω=1时，函数F（x）=f（x）+f（x-π3）=2sinx+2sin（x-π3）=3sinx-3cosx=23sin（x-π6），
令
2kπ-π2≤x-π6≤2kπ+π2，k∈z，求得
2kπ-π3≤x≤2kπ+π3，故函数的递增区间为
[2kπ-π3，2kπ+23π]，k∈Z．
（II）由题意可得
g（x）=2sin2（x+π6）+1=2sin（2x+π3）+1，令g（x）=0，可得
sin（2x+π3）=-12，
2x+π3=2kπ+7π6，或2x+π3=2kπ+11π6，即
x=kπ+5π12，或
x=kπ+3π4，k∈z．
若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点，则区间[m，10π]恰好包含10个周期，
函数在区间[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[m，10π]上有20个零点．
∴m∈（-π4，5π12]，a1+a2+a3+…+a19+a20=[5π12+（π+5π12）+（2π+5π12）+…+（9π+5π12）]+[3π4+（π+3π4）+（2π+3π4）+…+（9π+3π4）]
=295π6+105π2=305π3．