Question

设f(x)及g (x)在[a,b]上连续,证明(1)若在[a,b]上

设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,证明：
（1）若在[a,b]上f(x)>=0,且∫ f(x) dx=0,则在[a,b]上f(x)恒等于0
（2）若在[a,b]上f(x)>=g(x),且∫ f(x) dx=∫g(x) dx,则在[a,b]上f(x)恒等于g(x)
注：∫ 右上标为b,下标为a

Answer 1

（1）用反证法
不妨设存在一点p,使f(p)>0,那么连续函数由保号性,存在p一个领域(p-c,p+c),
当x∈(p-c,p+c)时,f(x)>0
∫ f(x) dx =∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx +∫ f(x) dx
>= ∫ f(x) dx >0
与∫ f(x) dx = 0 矛盾.
所以f(x)=0
（2）f(x)>=g(x),则f(x)-g(x)>=0,
∫ f(x) dx=∫g(x)dx,则∫ f(x) dx - ∫g(x)dx = ∫ (f(x) -g(x))dx =0
由（1）结论有f(x)-g(x)=0,
证毕