Question

高数不定积分

用分部积分求∫arcsinx/（x∧2）dx

Answer 1

首先将分母放到微分符号后
=∫ arcsinx d (-1/x)
分部积分
=-1/x*arcsinx+∫1/(x*根号(1-x^2))dx
三角代换求后一个积分
令x=sint，则根号(1-x^2)=cost，dx=costdt
∫1/(x*根号(1-x^2))dx=∫1/(sint*cost)*costdt=∫csctdt=ln|csct-cott|+C
由于x=sint，则csct=1/x，cott=根号(1-x^2)/x
然后代回上式，（注意我们这里做的是原积分中的第二部分，然后把第一部分加进来）下面的化简工作你应该会了吧，不会的话hi我。

Answer 2

∫ arcsinx / x² dx
= ∫ arcsinx d(-1/x)
= arcsinx * (-1/x) - ∫ (-1/x) d(arcsinx)
= (-arcsinx) / x + ∫ 1/[x√(1-x²)] dx
令x = sinθ，dx = cosθ dθ，√(1-x²) = √(1-sin²θ) = cosθ
cscθ = 1/sinθ = 1/x，cotθ = √(1-x²) / x
原式= (-arcsinx) / x + ∫ cosθ/(sinθ*cosθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ cscθ dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ cscθ * (cscθ+cotθ) / (cscθ+cotθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ (cscθcotθ+csc²θ) / (cscθ+cotθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ -d(cscθ+cotθ) / (cscθ+cotθ)
= (-arcsinx) / x - ln|cscθ + cotθ| + C
= (-arcsinx) / x - ln|[1+√(1-x²)] / x| + C
= (-arcsinx) / x - ln|1+√(1-x²)| + ln|x| + C

Answer 3

∫arcsinx/（x∧2）dx=∫arcsinxd（-1/x）=-arcsinx/x+∫darcsinx/x=-arcsinx/x+∫dx/（x√（1-x²））=-arcsinx/x+ln|（1-√（1-x²））/x|+C