Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上,DE⊥BE,若AD=6，AE=6倍根号2，则BE=？

请无视圆弧

Answer 1

设BD中点为O，连结OE
∵ ∠C=90°，DE⊥BE
∴ ∠AED+∠BEC=180°-90°=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠DEO+∠OEB=90°，以BD为直径的圆经过E点
∴∠AED=∠CBE
∵ BE平分∠ABC
∴ ∠AED=∠CBE=∠DBE
∵OE=OB
∴∠OEB=∠DBE=∠AED
∴∠DEO+∠AED=90°
∴AE为圆O的切线
∴AE²=AD·AB，（6√2）²=6·AB，AB=12，DB=6
设DE=x，∠BDE=Φ
在三角形AED中，∠ADE=180°-Φ
AE²=AD²+DE²-2·AD·DE·COS（180°-Φ）
72=36+x²+12·x·COSΦ…………①
在直角三角形BDE中DE=DB·COSΦ，x=6·COSΦ…………②
①、②联立得：x²=12
BE²=DB²-DE²=36-12=24
BE=2√6