Question

以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，交斜边BC于点D，OE∥BC，交AC于点E。求证：DE是圆O的切线。

以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，交斜边BC于点D，OE∥BC，交AC于点E。求证：DE是圆O的切线。

Answer 1

解：连接OD（因为题目说了D在圆上）交EO于M
∵BD∥OE
∴∠B=∠AOE，∠BDO=∠DOE
∵BO=DO
∴∠B=∠BDO
∴∠DOE=∠AOE
∵在△DOM和△AOM中
DO=AO
∠DOE=∠AOE
OE=EO
∴△DOM≌△AOM（SAS）
∴∠ODE=∠BAC
∵△ABC为直角三角形
∴∠ODE=90°
即DE是圆O的切线。
(楼下的，你这样复制我的有意思吗，先来先得，懂？再说我都写的最佳答案了，还有人来回答，扣自己采纳率？)望楼主明见
？为什么我修改回答了会到下面啊，不要啊，是我先回答的啊

Answer 2

我来帮你回答吧！
解：连结OD交EO于M
∵OE∥BC
∴∠B=∠AOE（两直线平行，同位角相等）
∠BDO=∠DOE（两直线平行，内错角相等）
∵BO=DO
∴∠B=∠BDO（等边对等角）
∴∠DOE=∠AOE（等量代换）
∵在△DOE和△AOE中
DO=AO
∠DOE=∠AOE
OE=EO
∴△DOE≌△AOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAC
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°
∵∠ODE=∠OAC，∠BAC=90°
∴∠ODE=90°
即DE是圆O的切线。（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
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Answer 3

解：

∵A、O、B在同一条直线上且OE//BD，

∴∠DBO=∠EOA。又∵∠DOA=2∠B（同弧，圆周角是它所对的圆心角的一半）

∴∠DOE=∠EOA。

∵OE=OE，OD=OA（半径相等）。

∴△DOE≌△AOE。（SAS）

∠ODE=∠OAE=90°

∴DE为圆O切线。

解完发现楼上的好像更简单。