Question

已知函数f(x)=x^2-bx+c且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),试比较f(2^x)与f(3^x)的大小

Answer 1

f(1+x)=f(1-x)知对称轴为x=1,则b=2，f(0)=c=3.f(x)=x^2-2x+3，f(x)在x<1时递减，x>1时递增。
当x<0时3^x<2^x<1则有f(3^x)>f(2^x)
当x=0时，3^x=2^x=1，则有f(3^x)=f(2^x)
当x>0时，3^x>2^x>1，则有f(3^x)>f(2^x)
因此有x不等于0时，f(3^x)>f(2^x)。x=0时，f(3^x)=f(2^x)

Answer 2

f(1+x)=f(1-x)
说明f(x)关于x=1对称，
(b=2
f（0）=3
则c=3
f(x)=x^2-2x+3=（x-1）^2+2)
x>=1时,f(x)单调递增,
x<1时,f(x)单调递减
比较f(2^x)与f(3^x)的大小
当x>0时,1<2^x<3^x,f(2^x)<f(3^x)
当x=0时,2^x=3^x=1,f(2^x)=f(3^x)=2
当x<0时,1>2^x>3^x,f(2^x)<f(3^x)