Question

一个正方形证明题

已知：正方形 ABCD ,F为AD中点,E为CD中点,连接CF,EB交于点P 求证 AB=AP 大好人帮帮忙啊~~~~~~~~

Answer 1

解法一：
易证△CFD≌△BEC，
则∠FCD=∠EBC，
又因为∠EBC+∠BEC=90度，
故∠FCD+∠BEC=90度，
则CF垂直于BE，延长AP交CD于G，
则：易证△ABP∽△GEP，
设CE=1，
则依题意得：BC=2，
根据射影定理，得：
PE=（1/5）√5/5，
且BP=（4/5）√5/5，
则BP/EP=4/1=AB/GE，
则GE=1/2，且CG=1—1/2=1/2，
所以G为直角三角形CPE斜边上的中点，
所以PG=GE=GC，则∠GPE=∠GEP，
又因为∠GEP=∠ABE，且∠GPE=∠APB，
则等量代换得：∠APB=∠ABP，
所以AP=AB
解法二
作BC中点H,连接AH交BE于点I
AF平行等于HC
四边形AFCH为平行四边形
AH平行FC
BH/HC=BI/IP=1(平行线所分线段成比例)
BI=IP
AH为BP边上的中线
不难证得:BCE与CDF全等
∠PCE与∠EBC相等，并与∠BEC互余则∠BPC=∠PEC+∠PCE=90度
为直角
BE⊥FC
因为AH‖FC
AH⊥BE
又因为AH为BP上的中线
所以AH为BP中垂线
所以AB=AP
中垂线上一点到角两端距离相等