Question

已知函数.设在处取得极值,求的值;当时,讨论的单调性;当时,证明:.

已知函数. 设在处取得极值,求的值; 当时,讨论的单调性; 当时,证明:.

Answer 1

先求导函数,根据是的一个极值点,可得,从而可求的值;
先求导函数,再对进行讨论,利用得函数的单调递增区间,
得函数的单调递减区间;
由知,当时,在上单调递减,所以当时,由,可得,进而可证得结论.
解:,
因为是的一个极值点,所以,
此时,可知,;,
符合条件(分)
因为
当时,
在单调递增,在单调递减;(分)
当即当时,对恒成立.
在上单调递减;(分)
当时,由得
,
在上单调递增,
同理得,在和上单调递减;(分)
由知,当时,在上单调递减;
当时,由(分)
从而有:
(分)
本题以函数为载体,考查导数的运用,考查利用导数研究极值问题,考查函数的单调性,同时考查分类讨论的数学数学.