Question

线性代数问题 如图这道题 怎么求的通解。

Answer 1

(A, b) =
[1 1 0 -1 -2]
[1 -1 2 0 1]
[4 -2 6 -4 7]
[2 4 -2 -7 λ]
行初等变换为
[1 1 0 -1 -2]
[0 -2 2 1 3]
[0 -6 6 0 15]
[0 2 -2 -5 λ+4]
行初等变换为
[1 1 0 -1 -2]
[0 -2 2 1 3]
[0 0 0 -3 6]
[0 0 0 -4 λ+7]
行初等变换为
[1 1 0 -1 -2]
[0 -2 2 1 3]
[0 0 0 1 -2]
[0 0 0 0 λ-1]
当 λ ≠ 1 时，r(A) = 3, r(A, b) = 4, 方程组无解。
当 λ = 1 时，r(A) = r(A, b) = 3, 方程组有无穷多解。
此时方程组同解变形为
x1 +x2 -x4 = -2
-2x2 +x4 = 3-2x3
x4 = -2
取 x3 = 0， 得特解 (-3/2, -5/2, 0, -2)^T,
导出组即对应齐次方程是
x1 +x2 -x4 = 0
-2x2 +x4 = -2x3
x4 = 0
取 x3 = 1， 得基础解系 (-1, 1, 1, 0)^T
则方程组的通解是
x = (-3/2, -5/2, 0, -2)^T+k(-1, 1, 1, 0)^T，
其中 k 为任意常数。