Question

|a|+|b|<=|a+b|+|a-b|

这个问题困扰我半个小时了请帮助一下万分感激。请给我详细过程。不胜受恩感激

Answer 1

利用绝对值不等式。
|（a+b）+（a-b）|≦|a+b|+|a-b|,
|（b+a）+（b-a）|≦|b+a|+|b-a|,
两式相加得，
2|a|+2|b|≤2（|a+b|+|a-b|）,
即|a|+|b|≤|a+b|+|a-b|.

Answer 2

当a>=b>=0时，右边=a+b+a-b=2a>=a+b=|a|+|b|.
当0>=a>=b时，右边=-a-b+a-b=-2b>=-a-b=|a|+|b|.
按这样分情况一个一个证明就可以了。
也可以试着反推一下，这是两个正数，所以只要它们的平方符合这个关系也可以，即a^2+b^2+2|a||b|<=(a+b)^2+(a-b)^2+2|a^2-b^2|就可以。
右边展开得a^2+b^2+2|a||b|<=a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab+2|a^2-b^2|=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|.
因此只要证明2|a||b|<=a^2+b^2+2|a^2-b^2|.
这个很明显了吧，就是完全平方公式的变形不等式。
再从后往前证就可以了。

Answer 3