Question

已知实数a,b,c,d满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,则|ac+bd|<1 下列两个条件那个可以推导出|ac+bd|<1

（1）直线ax+by=1与cx+dy=1仅有一个交点
（2）a≠c,b≠d
答案是：（1）,（2）单独,联合都不能

Answer 1

解：采用三角函数法。
假设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy,满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=1
则有|ac+bd|=|sinxsiny+cosxcosy|=|cos(x-y)|≤1且当x=y+kπ时|cos(x-y)|=1
若满足(1)直线ax+by=1与cx+dy=1仅有一个交点，即两直线不平行也不重合，那么a/b≠c/d
即tanx≠tany,即x≠y+kπ,得出|cos(x-y)|≠coskπ知|cos(x-y)|≠1即|=|cos(x-y)|<1因此满足条件（1）可以得出|ac+bd|<1
若满足（2）a≠c,b≠d即sinx≠siny,cosx≠cosy,知y≠x+2kπ即|cos(x-y)|≠cos2kπ知|cos(x-y)|≠1即|=|cos(x-y)|<1，因此满足条件（2）可以得出|ac+bd|<1

由以上可以看出条件（2）只是条件（1）的一个子集，因此得出结论：
a:题目和条件（1）是等价
b:条件（2）可以推出题目结论，但题目推不出条件（1）

Answer 2

看成两个单位向量（a,b）和（c,d）;
目标：使得两者内积的绝对值严格小于1；
|ac+bd|=|(a,b)。(c,d)|=1*1|cosx|<=1;“。"表示内积，x是两者夹角；
从而可知不等号严格成立条件是|cosx|<1，也就是两向量不共线；
(2)不可以，因为没有排除两向量互相相反的情形；
（1）等价于两直线不平行：从而两直线的法向量（a,b）与（c，d）也不平行；
所以（1）能够推出结论，而且是和结论等价的。

Answer 3

（a,b)和(c,d)分别是两条直线的法线单位矢量，|ac+bd|是这两个矢量的点积。|ac+bd|<1 说明他们不平行，（如果平行或反平行为1）
可以由（1）得出。
至于（2），由于有可能 a=-c,b=-d, 不能保证|ac+bd|<1

Answer 4

以元点为直角的等腰三角形
a=d=0或1 b=c=1或0