Question

一元二次方程怎么解

Answer 1

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 　　1、直接开平方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m . 　　例1．解方程（1）(x-2)²=9（2）9x²-24x+16=11 　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)²，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 　　（1）解：(x-2)²=9 　　∴x-2=±√9 　　∴x-2=±3 　　∴x1=3+2 x2=-3+2 　　∴x1=5 x2=1 　　∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 　　（2）解： 9x²-24x+16=11 　　∴(3x-4)²=11 　　∴3x-4=±√11 　　∴x=﹙ 4±√11﹚/3 　　∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 　　2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 　　先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c 　　将二次项系数化为1：x²+b/ax=- c/a 　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+b/ax+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²; 　　方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )²= -c/a﹢﹙b/2a﹚²; 　　当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²; 　　∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 　　例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 　　解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 　　将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 　　配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 　　直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )² ] 　　∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ] 　　∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 　　例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5 　　解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 　　∴a=2, b=-8, c=5 　　b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 　　∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) 　　∴原方程的解为x?=,x?= . 　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 　　例4．用因式分解法解下列方程： 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 　　(3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） 　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 　　(2)解：2x2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 　　(3)解：6x2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。 　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 　　小结： 　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 　　直接开平方法是最基本的方法。 　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 　　例5．用适当的方法解下列方程。(选学） 　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 　　（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 　　分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 　　（3）化成一般形式后利用公式法解。 　　（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 　　（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 　　(5x-5)(-x+13)=0 　　5x-5=0或-x+13=0 　　∴x1=1,x2=13 　　（2）解： x2+(2- )x+ -3=0 　　[x-(-3)](x-1)=0 　　x-(-3)=0或x-1=0 　　∴x1=-3，x2=1 　　（3）解：x2-2 x=- 　　x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) 　　△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 　　∴x= 　　∴x1=,x2= 　　（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 　　∴x1= ,x2= 　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法） 　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 　　即 (5x-5)(2x-3)=0 　　∴5(x-1)(2x-3)=0 　　(x-1)(2x-3)=0 　　∴x-1=0或2x-3=0 　　∴x1=1,x2=是原方程的解。 　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 　　解：x2+px+q=0可变形为 　　x2+px=-q (常数项移到方程右边) 　　x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) 　　(x+)2= (配方) 　　当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） 　　∴x=- ±= 　　∴x1= ,x2= 　　当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 　　说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。 　　练习： 　　（一）用适当的方法解下列方程： 　　1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 　　3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 　　5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 　　（二）解下列关于x的方程 　　1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 　　练习参考答案： 　　（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 　　3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 　　6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） 　　[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 　　即 (2x+9)(2x+2)=0 　　∴2x+9=0或2x+2=0 　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 　　（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 　　[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 　　∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 　　∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 　　原方程的解。 原方程的解。 　　测试 　　选择题 　　1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） 　　A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 　　2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 　　A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 　　3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（ ）。 　　A、0 B、1 C、-1 D、±1 　　4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 　　A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 　　C、b=0且c=0 D、c=0 　　5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 　　A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 　　6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 　　A、 B、 C、 D、无实根 　　7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 　　A、x= B、x=- 　　C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 　　8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 　　A、(x-)2= B、(x- )2=- 　　C、(x- )2= D、以上答案都不对 　　9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 　　A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 　　答案与解析 　　答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 　　解析： 　　1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 　　注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 　　2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 　　3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。 　　4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 　　则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 　　另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 　　5．分析：原方程变为 x²-3x-10=0, 　　则(x-5)(x+2)=0 　　x-5=0 或x+2=0 　　x1=5, x2=-2. 　　6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 　　7．分析：2x²=0.15 　　x2= 　　x=± 　　注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 　　8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 　　整理为：(x-)2= 　　方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 　　9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 　　则(x-1)2=m+1.

Answer 2

楼主，您好：
要学会解一元二次方程，首先要先知道一元二次方程。一元二次方程的一般式为：ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）。
解一元二次方程一共有4种解法：
①直接开平方：如x²=2，x是2的平方根，
∴x=正负√2
∴x1=√2，x2=-√2.
②配方法：只要把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k的形式（其中h、k是常数）,若K≥0，再通过直接开平方就可得出。
③：公式法：次方法只要带公式b²-4ac算就行了，若≥0，则可解，反之无解，用x=-b正负√（b²-4ac）/2a，代入就出x1、x2即可；
④：因式分解法：这个最好解了，只要等于0就行了，不做具体介绍了。
以上就是解一元二次方程的基本方法，希望对你偶帮助，谢谢采纳！~

Answer 3

3种方法
ax*x+bx+c=0
1.配方法
(x+b/2a)平方=n(常数，大于等于0时方有实根)
有实根时用直接开平方法解决。（一定是两个根，即使相等也得写是两个）
无实根直接写方程无实根。
2.公式法
x=[-b±√￣（b*b-4ac）]/（2a）
需要先判断判别式的正负。判别式为正方有实根
3.十字交叉法，分解因式
化解成这样形式（x-x1）（x-x2）=0
则x1,x2为所求实根

原创！

Answer 4

分解因式