假设a、m、n为正整数,a>1,如果am-1|an-1,证明m|n m、n为次方
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m=1时显然成立
当m≥2时用反证法
假设m不整除n,又显然m＜n,那么存在正整数q,r使n=qm+r(1≤r<m)
注意到a^m-1=(a-1)[1+a+a^2+...+a^(m-1)],a^n-1=(a-1)[1+a+a^2+...+a^(n-1)]
∵a^m-1|a^n-1,∴a^m-1|a^(qm+r)-1,即a^m-1|(a^r)(a^m)^q-1,即a^m-1|(a^r)[(a^m)^q-1]+a^r-1
注意到(a^m)^q-1=(a^m-1)[(a^m)^(q-1)+...+a^m+1],∴a^m-1|(a^m)^q-1,∴a^m-1|(a^r)[(a^m)^q-1],∴a^m-1|a^r-1
∵a^m-1,a^r-1均为正数,∴a^m-1≤a^r-1,得r≥m,这与r<m矛盾!
所以假设不成立,即m|n</m矛盾!
</m)
当m≥2时用反证法
假设m不整除n,又显然m＜n,那么存在正整数q,r使n=qm+r(1≤r<m)
注意到a^m-1=(a-1)[1+a+a^2+...+a^(m-1)],a^n-1=(a-1)[1+a+a^2+...+a^(n-1)]
∵a^m-1|a^n-1,∴a^m-1|a^(qm+r)-1,即a^m-1|(a^r)(a^m)^q-1,即a^m-1|(a^r)[(a^m)^q-1]+a^r-1
注意到(a^m)^q-1=(a^m-1)[(a^m)^(q-1)+...+a^m+1],∴a^m-1|(a^m)^q-1,∴a^m-1|(a^r)[(a^m)^q-1],∴a^m-1|a^r-1
∵a^m-1,a^r-1均为正数,∴a^m-1≤a^r-1,得r≥m,这与r<m矛盾!
所以假设不成立,即m|n</m矛盾!
</m)
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