Question

一道高数选择题

f(x)在R上单调有界，Xn为数列，下列命题正确的是， A 若Xn收敛，则f(Xn)收敛。 B 若Xn单调，则f(Xn)收敛

Answer 1

A是不对的，如果加上f(x)连续的条件的话，那么A是对的。
B是对的，因为f(x)是单调函数以及{Xn}单调可以推出{f(Xn)}也是单调的数列。另外{f(xn)}也是有界的数列，根据“单调有界数列必有极限”得到f(xn)收敛。

Answer 2

A是错误的．例如，若设当x>=0时，f(x)=arctanx+1, 当x<0时，f(x)=arctanx-1, 则函数f(x)在R上单调有界|f(x)|<1+pi/2. 若令Xn=[(-1)^n]/n, 则{Xn}收敛，显然{f(Xn)}是发散的．
B是正确的．因为若{Xn}单调，由f(x)的单调性知，则{f(Xn)}也一定单调，由单调有界准则知，{f(Xn)}必定是收敛的.

Answer 3

题没写完？
结论应该是若Xn单调，则f(Xn)收敛。