Question

高等数学级数问题

请问如何证明下面的结论

Answer 1

因为这里分子分母n的次数是n，与n有关，并不是常数
例如1+0.5^2+0.5^3+……收敛，但是1/2可以写成n/2n，利用上面的方法就会得到发散，原因就在于这里的次数与n有关

对正项级数设p、q分别为分母和分子关于n的最高次数，若p-q＞1，则级数收敛；若p-q≤1，则级数发散。而这个题用这种方法求的话p-q=n-n=0小于1，是发散的。
这个东西的本质是考虑级数1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s + ……的收敛性
当0≤s≤1时级数发散，当s>1时级数收敛
当n充分大之后，所需要判别的级数就近似于n^(q-p)+(n+1)^(q-p)+……
而你所给的级数次数与n有关，它就不会近似于n^(q-p)，

Answer 2

记u_n = \sum f(k)，v_n = \int f(x) dx，求和和积分范围都是n到2n
那么利用单调性知道
u_n-f(n) <= v_n <= u_n ……(1)
(n+1)f(2n) <= u_n <= (n+1)f(n) ……(2)
nf(2n) <= v_n <= nf(n) ……(3)
由于f(n)单调有界，必有极限，记A=lim f(n)，那么A>=0。
若A > 0，则由(2)、(3)两式得u_n和v_n同时发散到+oo
若A = 0，对(1)式取极限知u_n和v_n同时收敛或同时发散，且收敛的时候极限相同。

追问

你好，我想问问你给出方法是怎么想到的呢？有没有什么理论基础呢？比如这个方法是否和一些渐进级数的求和法有关呢，谢谢

再问一个问题，如果发散，那么这二者是个什么情况呢？我刚才按照你的思路算出来一个等式:
记u_n = \sum f(k)，v_n = \int f(x) dx，求和和积分范围都是n到2n
lim[n->+∞]u_n =lim[n->+∞]v_n + lim[n->+∞]f(n) 不知道是不是对的，望指教

追答

这里(2)、(3)和(1)中的v_n+∞]u_n =lim[n->+∞]v_n + lim[n->+∞]f(n)当然成立，+oo = +oo + A
2.完全没有极限，那么lim[n->+∞]u_n和lim[n->+∞]v_n这样的写法本身就不对，因为根本不存在
当然，你可以根据(1)得到
limsup u_n - A <= liminf v_n
limsup v_n <= liminf u_n
上下极限总是存在的

Answer 3

看不清，明天看吧