Question

导数问题，看似简单，其实老师都给不出答案。

对于一般的曲线在某点处的导数有一个，但是对于某些曲线在某点处导数有多个 例如 笛卡尔叶形线 x³+y³-3axy=0 有图形可以看出它在原点处 应该有两个导数 参数方程x=3at/（1+t³） y=3at²/（1+t³） 由参数方程求导可知道其导函数（t为参量) 把原点带进去后 发现曲线在原点处导数是0 但是曲线在原点处的导数明显是两个值 这个该怎么解释 这种在某点处有两个导数的图形还很多 这个是怎么回事？ 请给出解释？ 谢谢。

Answer 1

你可能误以为原点就是t=0那么简单了。
事实上Descartes叶形线在你给的那种参数方程下至少需要分两段处理：
1) t从-oo变到-1的时候曲线从原点出发得到右下支
2) t从-1变到0的时候曲线从无穷远来到原点，得到左上支
3) t从0变到+oo的时候曲线从原点出发向右并最终从上方回到原点
t=0处2)和3)可以毫无困难地一同处理，但是t=-oo和t=+oo两处也影响原点的行为，不能忽略掉。当t=0的时候可以得到水平切线，t=+oo和t=-oo的时候可以得到竖直切线。
本质上讲，曲线从原点(t=-oo)出发走到无穷远(t=-1-0)再从另一侧(t=-1+0)走回来回到原点(t=0)再绕一小圈(t=+oo)，不搞清楚变化趋势也就无从讨论切线。

Answer 2

导数是函数应用范围内的一中求斜率方式，函数及1X对应1Y或多X对应1Y，1X对应多Y的不属于函数范畴，及无法使用求导公式，因此对椭圆等非F（X)函数求导是错误的

Answer 3

这不是函数，是一条参数式曲线，x=f(t)。y=g(t)。y(x)'=g'/f'。你看到的重合点虽然x,y值一样，但是t不同

Answer 4

还是自学下吧.但不用学太深.找些基础题来做,不懂再问老师. 不论文科还是理科，导数那章最后考一道大题（最后），一道小题。和函数的联系比较大

Answer 5

记住，它是曲线，不是函数，如果是函数，肯定是一个值，这是函数的定义性质决定的。你如果给它以定义域，使其符合函数的要求(一个x只对应一个y)就知道了