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原式=∫1/（cosx)^3 dx = ∫cosx/(cosx)^4 dx
=-∫1/(1-(sinx)^2)^2 dsinx
=-∫1/(1-t^2)^2 dt
=-∫(a+bt)/(1+t)^2 + (c+dt)/(1-t)^2 dt
=-∫[(a+bt)(1-t)^2 +(c+dt)(1+t)^2]/(1-t^2)^2 dt
(a+bt)(1-t)^2 +(c+dt)(1+t)^2 = 1得到
t^3项: b+d=0
t^2项: a-2b + c+2d =0
t项: -2a +b +2c +d =0
常数项：a +c =1
b=1/4, d= -1/4, a=c=1/2
所以原式=-∫(1/2 +1/4t)/(1-t)^2 dt -∫(1/2 -1/4t)/(1+t)^2dt
=-∫[3/4 - 1/4(1-t)]/(1-t)^2 dt - ∫ [3/4 -1/4(1+t)]/(1+t)^2dt
=3/4 * 1/(t-1) +1/4 ln(1-t) +3/4 * /(1+t) + 1/4 ln(1+t)+C
=-3/2 * 1/(1-t^2) +1/4 ln(1-t^2) +C
=-3/2 (secx)^2 + 1/4 ln((cosx)^2 +C
=-∫1/(1-(sinx)^2)^2 dsinx
=-∫1/(1-t^2)^2 dt
=-∫(a+bt)/(1+t)^2 + (c+dt)/(1-t)^2 dt
=-∫[(a+bt)(1-t)^2 +(c+dt)(1+t)^2]/(1-t^2)^2 dt
(a+bt)(1-t)^2 +(c+dt)(1+t)^2 = 1得到
t^3项: b+d=0
t^2项: a-2b + c+2d =0
t项: -2a +b +2c +d =0
常数项：a +c =1
b=1/4, d= -1/4, a=c=1/2
所以原式=-∫(1/2 +1/4t)/(1-t)^2 dt -∫(1/2 -1/4t)/(1+t)^2dt
=-∫[3/4 - 1/4(1-t)]/(1-t)^2 dt - ∫ [3/4 -1/4(1+t)]/(1+t)^2dt
=3/4 * 1/(t-1) +1/4 ln(1-t) +3/4 * /(1+t) + 1/4 ln(1+t)+C
=-3/2 * 1/(1-t^2) +1/4 ln(1-t^2) +C
=-3/2 (secx)^2 + 1/4 ln((cosx)^2 +C
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