Question

线代伴随矩阵问题

A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*= ( )

A ㄧAㄧ^n-1 A
B ㄧAㄧ^n-2 A
C ㄧAㄧ^n+1 A
D ㄧAㄧ^n+2 A

不要光选ABCD的答案,要有解释说明详细过程,回答详细清楚的追加奖分,谢谢!

Answer 1

B ㄧAㄧ^n-2 A

线形代数里有一个重要等式:AA*=ㄧAㄧE,无论是否可逆都成立,当A可逆时,可以导出逆矩阵A'=A*/ㄧAㄧ,就是我们学会行变换之前求逆矩阵的极不实用的方法.

现在用A*代替等式AA*=ㄧAㄧE之中的A
得到A* (A*)* = ㄧA*ㄧE
所以(A*)* = ㄧA*ㄧ(A*)'
带入ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1 和 A* = ㄧAㄧA'
得到(A*)* = ㄧAㄧ^n-1 × (ㄧAㄧA')' = ㄧAㄧ^n-1 ×( A/ㄧAㄧ)=ㄧAㄧ^n-2 A

补充1:公式A* = ㄧAㄧA' 是由 AA*=ㄧAㄧE直接得到的
补充2:公式ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1是由 AA*=ㄧAㄧE两边取行列式得到的
ㄧAㄧㄧA*ㄧ=ㄧㄧAㄧE ㄧ= ㄧAㄧ^n
所以ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1
补充3:(ㄧAㄧA')' = A/ㄧAㄧ是由公式(kA)'=(1/k)A 和(A')'=A得到的
补充4:这个与题目没大关系,但挺有用,这类不给数的抽象矩阵乱推导时用的最多,可逆矩阵A,求逆,求转置,求伴随,三者顺序无关,可以任意颠倒.比如(A*)'=(A')*，公式表现为这3个右上角的运算符号可以交换．