Question

如何推导抛物线(有倾斜角)焦半径公式?

Answer 1

y²=2px

F(p/2,0)

斜率不存在

θ=90度,x=p/2

则y²=p²

y=±p

AB=y1-y2=2p=2p/sin²90

成立

斜率存在

y=tanθ(x-p/2)

y²=tan²θ(x²-px+p²/4)=2px

tan²θx²-(ptan²θ+2p)x+tan²θp²/4=0

x1+x2=(ptan²θ+2p)/tan²θ

准线x=-p/2

所以A到准线距离=x1+p/2

B到准线距离=x2+p/2

抛物线定义

A到F距离等于到准线距离

所以AB=AF+BF=A到准线距离+B到准线距离

=x1+x2+p

=(ptan²θ+2p)/tan²θ+p

=(2ptan²θ+2p)/tan²θ

=2p(1+tan²θ)/tan²θ

=2psec²θ/tan²θ

=2p(1/cos²θ)/(sin²θ/cos²θ)

=2p/sin²θ

综上

AB=2p/sin²θ

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。