Question

怎么证明任一最高次项的指数为奇数的实系数多项式方程至少有一个实根？

Answer 1

不妨假设该方程，最高次系数是正数。 

然后证明，x—>+∞，f(x)—>+∞，由极限保号性，必定存在一个数x1，使得f(x1)>0。

类似，x--->-∞，f(x)--->-∞存在x2，有f(x2)<0。

那么，因为代数方程是连续的，在x1，x2中间这段区间上，一定存在f(x)=0的解。

在自变量取值充分大的时候，肯定会急剧递增；在自变量取值充分小的时候，也会急剧递减．所以，函数在负无穷到正无穷的总体趋势，函数值一定是从负无穷递增到正无穷。

因此，必然会存在函数曲线与x轴的交点，所以必然至少有一个实根。复数的角度来说，一个n次代数方程，肯定存在n个复数根（实数视为虚部为0的复数）。