Question

为什么隐函数求导对等式两边的x求导要对常数项求导

Answer 1

看下面定义，以及案例，你就会明白了
1定义
隐函数
是由
隐式
方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个
定义域
上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。[1]
显函数
是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的;
2
求导
法则
对于一个已经确定存在且
可导
的情况下，我们可以用
复合函数
求导的
链式法则
来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有
y'
的一个方程，然后
化简
得到
y'
的表达式。[3]
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；
方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
方法③：利用一阶
微分形式
不变的性质分别对x和y求导，再通过
移项
求得的值；
方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过
多元函数
的
偏导数
的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z
=
f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)
=
0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
3推理过程
一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程中，作为这方程的一个解（函数）。例如
(1)
如果不限定函数连续，则式中正
负号
可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则
只有两个
解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定
可微
，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是
开区间
(-1负号）。
微分学
中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都
连续可微
的情形。
这时可以利用复合函数的
微分法
对方程(1)直接进行微分：
(2)可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，唯一的条件是
(3)隐函数理论的基本问题就是：在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的
附加条件
能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y=ƒ(x)，不仅
单值
连续,而且连续可微，其导数由(2)完全确定。
隐函数存在定理
就用于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。
4示例
设方程P(x,
y)=0确定y是x的函数，并且可导。如今可以利用复合函数求导公式求出隐函数y对x的导数。
例1方程x2+
y2
-r2=0确定了一个以x为
自变量
，以y为
因变量
的数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y2看作x的复合函数，则有：
(x2)+
(y2)-(r2)=0
即
2x+2yy'=0
于是得y'=-x/y
。
从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y'的
一次方程
，
解出y'即为隐函数的导数。
例2求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数。
解：
将方程两边同时对x求导，得：
2yy'=2p
解出y'即得
y'=p/y
例3求由方程y=x
ln
y所确定的隐函数y=f(x)的导数。
解：将方程两边同时对x求导，得
y’=ln
y+xy'
/y
解出y'即得
。