设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞)(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明... 设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明 展开
数学难题请找我
高粉答主

2011-10-29 · 专注中小学数理化问题
数学难题请找我
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(1)当a=2时,利用不等式性质求最小值:f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ,判者当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时,f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞姿和) 上任取两数x1和x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=[x1+a/(x1+1)]-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]=(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)
因为0≤x1<x2,所以x1+1>1, x2+1>1, (x1+1)(x2+1)>1>a, x1-x2<0, 即(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以当0<a<1时,函数f(x)在[0,+∞) 上是掘册薯单调递增的。
currelly
2011-10-29 · TA获得超过1055个赞
知道小有建树答主
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1)当a=2时函数为f(x)=x+2/(x+1),设0《x1<x2;则f(x1)-f(x2)=x1-x2+2/x1+1-2/x2+1=(x1-x2)(1-2/(x1+1)(x2+1));现在讨论1-2/(x1+1)(x2+1)的大小关系令x1=x2=x且令其为0得x=根号2-1当x》根号2-1易知f(x1)-f(x2)<0故函数单调递增,当0<x<跟号2-1时f(x1)-f(x2)>0函数单调递减易知函数在x=根号2-1处取得最小值f(没局根号2-1)=2根号2-1
2)单调递增。当0<a<1时设0《x1<桥樱x2;则f(枯消让x1)-f(x2)=x1-x2+a/x1+1-a/x2+1=(x1-x2)(1-a/(x1+1)(x2+1))易知x1+1>1,x2+1>1故(x1+1)(x2+1)>1所以1-a/(x1+1)(x2+1)>o即f(x1)-f(x2)<0故函数单调递增。
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karashi
2011-10-29 · TA获得超过1765个赞
知道小有建树答主
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(1)
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0,a>0,所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根高凳号a=2根号戚尘旅2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
(2)
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a/(x1+1)-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]
因为(x1+1)(x2+1)>1;0<a<1
所以a/(x1+1)(x2+1)<1
1-a/兄颤(x1+1)(x2+1)>0——#
因为x1>x2
所以(x1-x2)>0——*
由#、*可得
(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增
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杏仁乃胡
2011-10-29
知道答主
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