在△ABC中，∠C=90度，AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；
（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面积的 1/2，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解．
解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 根号下（3方+4方）=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ AD/AC= AC/AB，即 AD/3= 3/5，AD= 95．
（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤ 9/5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即 AE/AC= EF/BC，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴ x/3= EF/4，EF= 4/3x，
S△AEF=y= 1/2AE•EF= 1/2x• 4/3x= 2/3x2．
如图B：当AD＜x≤BD，即 9/5＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴ EB/BC= EF/AC，
∵AE=x，△AEF的面积为y， (5-x)/4= EF/3，
∴EF= (15-3x)/4，
y= 1/2×AE×EF= 1/2x• (15-3x)/4= 15x/8- 3x2/8．
②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤ 9/5时，
S△AEF=y= 1/2AE•EF= 1/2x• 4/3x= 2/3x2，当x=AD，即x= 9/5时，y最大= 2/3×（ 9/5）2= 54/25．
如图B：当AD＜x≤BD，即 9/5＜x≤5时，
y= 1/2x× 3/4（5-x）= 15x/8- 3x2/8，y最大= 75/32，此时x=2.5＜5，故成立．
故y最大= 75/32．
（3）不存在．
根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分，
即AC+CF+AE=FB+EB，又CF+FB=BC，
∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1，
∵sinB= AC/AB= 3/5，∴FG=FBsinB= 3/5（x+1），
又直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分，
∴S△EFB= 1/2EB•FG= 1/2S△ABC=6，
即 1/2（5-x）• 3/5（x+1）=6，
化简得：x2-4x+15=0，
∵△=b2-4ac=16-60=-44＜0，
∴此方程无解，
故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
∴AB= 32+42 =5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴AD AC =AC AB ，即AD 3 =3 5 ，AD=9 5 ．
（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤9 5 时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即AE AC =EF BC ，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴x 3 =EF 4 ，EF=4 3 x，
S△AEF=y=1 2 AE•EF=1 2 x•4 3 x=2 3 x2．
如图B：当AD＜x≤BD，即9 5 ＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴EB BC =EF AC ，
∵AE=x，△AEF的面积为y，5-x 4 =EF 3 ，
∴EF=15-3x 4 ，
y=1 2 ×AE×EF=1 2 x•15-3x 4 =15x 8 -3x2 8 ．
②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤9 5 时，
S△AEF=y=1 2 AE•EF=1 2 x•4 3 x=2 3 x2，当x=AD，即x=9 5 时，y最大=2 3 ×（9 5 ）2=54 25 ．
如图B：当AD＜x≤BD，即9 5 ＜x≤5时，
y=1 2 x×3 4 （5-x）=15x 8 -3x2 8 ，y最大=75 32 ，此时x=2.5＜5，故成立．
故y最大=75 32 ．
（3）不存在．
根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分，
即AC+CF+AE=FB+EB，
又∵CF+FB=BC，
∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1，
∵sinB=AC AB =3 5 ，
∴FG=FBsinB=3 5 （x+1），
又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分，
∴S△EFB=1 2 EB•FG=1 2 S△ABC=3，
即1 2 （5-x）•3 5 （x+1）=3，
化简得：x2-4x+5=0，
∵△=b2-4ac=16-20=-4＜0，
∴此方程无解，
故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
