Question

高数中值定理

已知f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)=0，求证在(a,b)至少有一点t属于(a,b)，使得f(t)+f'(t)=0

Answer 1

建议考虑函数 g(x)=f(x)e^x
因 f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)=0
所以 g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g(a)=g(b)=0
对 g(x)在(a,b)上应用罗尔中值定理可得
在(a,b)至少有一点t属于(a,b)，使得 g'(t)=0
即 e^x {f(t)+f'(t)} =0 因 e^x >0 所以 f(t)+f'(t)=0