Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（xy）=f（x）f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，

且0小于等于x小于1时 0≤f（x）＜1.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在区间[0，正无穷）上得单调性，并予以证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤9^(1/3),求实数a的取值范围。

Answer 1

当x，y∈R时，恒有f（xy）=f（x）f（y），
令x=y=0
f(0)=f(0)f(0)
又因为0小于等于x小于1时 0≤f（x）＜1.
所以f(0)=0

令y=-1
f(-x)=f(-1)f(x)=f(x)
所以函数f(x)是偶函数

令x=1 y=-1
f(-1)=f(1)f(-1)
f(1)=1

令x>0 0<=y<=1
0<f(y)<=1
xy<x
f(xy)=f(x)f(y)<=f(x)
所以f（x）在区间[0，正无穷）是增函数

a≥0且f（a+1）≤9^(1/3)
9=f(27)=f(3)f(3)f(3)
f(3)=9^(1/3)
所以a+1<=9^(1/3)
a<=9^(1/3)-1
即
0<=a<=9^(1/3)-1

追问

为什么f(-x)=f(-1)f(x)=f(x)
f(-x)=f(-1)f(x）不是应该等于f（-x）？

追答

因为f(-1)=1是已知的

a≥0且f（a+1）≤9^(1/3)
9=f(27)=f(3)f(3)f(3)
f(3)=9^(1/3)
所以f(a+1)<=9^(1/3)=f(3)
a+1<=3
0<=a<=2

Answer 2

（1）f（xy）=f（x）f（y）当y=-1时f(-x)=f(x)f(-1)=f(x) 则f(x)为偶函数
（2）因为f(x)=f(-x),f(-1)=1 则f(1)=1 又因为f(27)=9 f(27)>f(1) 27>1 则f(x)在[0,正无穷）单调递增
（3）因为a>=0 则a+1>=1 1<9^(1/3)<9 则a+1<27 即0<=a<26