Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（xy）=f（x）f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，

且0小于等于x小于1时 0≤f（x）＜1.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在区间[0，正无穷）上得单调性，并予以证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤9^(1/3),求实数a的取值范围。

Answer 1

解：

当x，y∈R时，恒有 f（xy）=f（x）f（y）

（1）令y=-1
则， f（-x）=f（x）f（-1）
因为，f(-1)=1
则，f(x) = f(-x)

所以，函数f(x)是偶函数

（2）判断一个函数的单调性，只有2种方法：
①观察图像
②定义证明
单调性定义：对于函数f(x)，在其定义域上任取2个数x1，x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)恒成立，则函数f(x)在其定义域上是单调递增的函数；
如果当x1<x2时，f(x1)>f(x2)恒成立，则函数f(x)在其定义域上是单调递减函数。

用定义证明常用作差法：把 f(x1)-f(x2) 的差值与0比较，从弯携而确定f(x1)和f(x2)大小关系。

但有时也用作商罩闷法：把f(x1) / f(x2)的商值与1比较大小，从而确定f(x1)和f(x2)的大小关系。

开始做题：

令x = x/y
则：f（xy）=f（物闹弯x）f（y）
变成 f(x) = f(x/y) * f(y)

设x1，x2是【0，+∞）上的任意两个数，且 0≤x1<x2

在 f(x) = f(x/y) * f(y)中
令 x =x1 ，y = x2
则，f(x1) = f(x1/x2) * f(x2)

如果f(x2)=0，则，一定有f(x1)=0

因为，x1是任意的数，f(x1)=0表明在定义域R上无论自变量取什么值，对应的函数值都为0，不符合题意。【题干中f(27)就不等于0】
所以，f(x2)≠0
则，f(x1) = f(x1/x2) * f(x2)

可变成：f(x1) / f(x2) = f(x1/x2)

不难看出，正好利用作商法。

因为，0≤x1<x2
所以，0 ≤ x1/x2 <1
因为当0≤x<1时，恒有0≤f（x）＜1 （题目条件）
所以，0≤f(x1/x2)<1
即：0≤f(x1) / f(x2)<1

所以，f(x1) < f(x2)

可以得出，函数f（x）在区间【0，+∞）上是单调递增函数。

（3）f（xy）=f（x）f（y）
则，f(27) = f(3*9)
= f(3) * f(9)
=f(3) * f(3) *f(3)
= f^3 (3)
=9
所以，f(3) = 9^(1/3)

则，f（a+1）≤9^(1/3)
等价于，f（a+1）≤ f(3)

① 当a+1=3，即a=2时 f(3)=f(3)
f（a+1）≤ f(3)恒成立

②当a+1≠2，即a≠2时
因为，a≥0,
则，a+1 ≥ 1
(a+1) ∈【0，+∞） ，3∈【0，+∞）
根据函数的单调性，可以得出：
a+1<3
解得：a<2

所以，a的取值在0≤a<2时，f（a+1）≤ f(3)恒成立

综合①，则实数a的取值范围是：【0，2】

Answer 2

（1）f（xy）=f（x）f（y）当y=-1时f(-x)=f(x)f(1)=f(x) 则f(x)为偶没滑函数
（2）因为f(x)=f(-x),f(-1)=1 则f(1)=1 又因为f(27)=9 f(27)>f(1) 27>1 则f(x)在[0,正无穷）单调递增
（3）因为a>=0 则枯蔽腊a+1>=1 1<9^(1/并戚3)<9 则a+1<27 即0<=a<26

追问

f（-1）=1指的是f（x）还是f（y）...？？

追答

f(y)不是函数 而是函数值

追问

1）f（xy）=f（x）f（y）
当y=-1 时 f(-x)=f(x)f(1)=f(x)则f(x)为偶函数
【为什么不是f(-x)=f(x)f(-1)=f(x) 】？

追答

不好意思我打错了 应该是f(-x)=f(x)f(-1)=f(x)

追问

为什么f(-x)=f(-1)f(x)=f(x)
f(-x)=f(-1)f(x）不是应该等于f（-x）？

追答

f(-1)=1 f(-x)=f(-1)f(x)=1f(x)=f(x)

Answer 3

补充：这种抽象函数题主要运用两种方法
1赋值法。就是把x或y用特殊值带入，一般考虑赋值个数由1个（即令x=某个数）到2个（令x=某个数，y=某个数）。
2递推法。多用于x，y被限定在整数区域时。
例：已知函数f（x），当x，y∈Z(整数）时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，求f（x）（x∈Z(整数））先用赋值法令y=1，有f（x+1）=f（x）+1 （轮行f（1）=1）
则由类似于数列递推的方法 f（x+2）=f（x+1）+1=f（x）+2=……=f（1）+x+1=x+2
则f（x）=x（x∈Z(整数））

运用这两种方法还可以解决下例

已知函数f（x），当x，y∈Q(有理腊高哗念郑数）时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，求f（x）（x∈Q(有理数）） 注:（任何有理数都可以表示成q除以p的形式，其中q与p为互质的整数）

我觉得答疑者既然本着让人明白的目的，就应该让有疑者了解来龙去脉，而不仅仅是题目。

追问

谢谢。请问您可以帮我解答一下这道题吗？我还有一点不懂。麻烦了。

Answer 4

设x2