Question

如图，在三角形abc中，cd垂直ab，d是垂足，ae平分角cab交cd于点f，eg垂直ab于点g，求证，四边形cfge是菱形

Answer 1

条件不足！
E点位置没有指出，不论E点在哪里，要求∠ACE=90°。当∠C=90°时，E点在BC上。
反推即可得此条件：
若四边形CFGE为菱形，则CE=CE, ∠CEF=∠CFE
∠CFE=∠AFD, ∠AFD+∠FAD=90°（CD⊥AB） ∠FAD=∠FAC (AE平分∠CAB）
∴ ∠CEF+∠CAE=∠CFE+∠FAD=∠AFD+∠FAD=90°
∴ ∠ACE=180°-∠CEF-∠CAE=90° 故 要使四边形CFGE为菱形，必须∠ACE=90°
假设题目中增加条件 ∠ACE=90° （不论E是否在BC上，若E在BC上，∠C=∠ACE=90°）
证明：
∵ AE是∠CAB的角平分线，EG、EC是点E到两边的距离, EG=EC
∴ △AEG≌△AEC
则 AC=AG
∴△AFG≌△AFC(边角边）
则 CF=FG
又∵ ∠CEA+∠CAE=90°
∠CFE+∠CAE=∠AFD+∠FAD=90°
∴∠CEA=∠CFE
则 CF=CE
∴ CF=CE=FG=GE
四边形CFGE为菱形。

Answer 2

∵ AE是∠CAB的角平分线，EG、EC是点E到两边的距离, EG=EC
∴ △AEG≌△AEC
则 AC=AG
∴△AFG≌△AFC(边角边）
则 CF=FG
又∵ ∠CEA+∠CAE=90°
∠CFE+∠CAE=∠AFD+∠FAD=90°
∴∠CEA=∠CFE
则 CF=CE
∴ CF=CE=FG=GE
四边形CFGE为菱形。

Answer 3

美图