Question

如图AB圆O的直径,AC平分角DAB交圆O于点C,直线CD垂直AD,求证:直线CD是圆O的切线,若AD交圆O于点E，连结CE

CD+DE=6，且圆O的直径为10，求AE的长。

Answer 1

证明：1。

连接OC
∵OA，OC是圆O的半径
∴∠CAO=∠ACO ①
又已知 AC平分角DAB交圆O于点C
则 ∠CAD=∠CAO②
由①②得 ∠CAD=∠ACO
则 OC//AD ③
∵直线CD垂直AD④
∴由③④得 直线CD垂直CO
又CO是圆O的半径
∴直线CD是圆O的切线

2。

连接BE交OC于F点
∵AB是圆O的直径
∴∠AEB=90度，则直线EF垂直AD ①
又直线CD垂直AD　②
由①②得CDEF是矩形
从而CF=DE
∵OA=OB，OF//AE
从而OF是三角形ABE的中位线
∴OF=1/2*AD
设 DE=X
则 FC=DE=X，CD=6-X
又OC=1/2*AB=1/2*10=5
从而 OF=OC-FC=5-X
∴AD=2*OF=2*(5-X)
从而 AE=AD+DE=2*(5-X)+X=10-X
∵直线CD是圆O的切线
∴CD^2=DE*AE
则(6-X)^2=X*(10-X)
化简，得 X^2-11*X+18=0
因式分解，得 (X-2)(X-9)=0
从而 X=2 或 X=9(不合题意，舍去)
∴AE=10-X=10-2=8
则 AE的长是8.

Answer 2

易证角dac=cao=aco所以角dca+aco=90第一问得正
连接be，交oc于h则edch为矩形ae=2oh
显然cd方=de*da设de=x则dc=6-x ae=2oh=2（5-x）
带入可求得x=2或9显然9该剔除