Question

设函数f(x)=e^x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x)

(1)若x=0是F(x)=f(x)-g(x)的极值点，求a的值
(2)当a=1时，设p（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））x1,x2大于零，且PQ//x轴，求PQ两点间的最短距离
（3）若x>=0时，函数y=F（x）的图像恒在y=F(-x)的图像上方，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）F ' (x) = e^x + cos x - a ，x=0是极值点，要求F ‘（0）= 0
即 a = 2
（2）依题意，f（x1）= g（x2）= x2，
故 PQ = | x2 - x1| = | f（x1）- x1| = | f（x1）- g（x1）| = | F(x1)|
因为x1>0, 而当 x>0 时， F ‘ (x1) = e^x + cos x - 1 > 0，所以F(x) 在 （0，+∞)为增函数。
F(0) = 1，于是 PQ = F(x1) > F(0) = 1
因为要求x1>0，所以PQ无法取得最小值（允许x1取0时，PQ有最小值1）
（3）依题意，当x>=0时，F(x)>=F(-x)。令G(x)=F(x) - F(-x),则 G(0) = 0
G ' (x) = e^x + e^(-x) + 2 cos x - 2 a ，题目要求 G'(0)>=0
G '' (x) = e^x - e^(-x) - 2 sin x
G'''（x）= e^x + e^(-x) + 2 cos x
显然，在x>=0时，G'''（x）恒为正，且G''(0)=0，于是G''(x)>=0恒成立
因此，只要G'(0)>=0就有G'(x)>=0恒成立
由G ' (0)>=0 ，解得 a <= 2
即： a的取值范围为 (-∞, 2]

Answer 2

我觉得这道题可能要解一个幂函数和三角函数的方程啊，要不只能猜解，第二问还行，第三问就真的不会了……

追问

第二问写一下求解过程呗

追答

（2）依题意，f（x1）= g（x2）= x2，
故 PQ = | x2 - x1| = | f（x1）- x1| = | f（x1）- g（x1）| = | F(x1)|
因为x1>0, 而当 x>0 时， F ‘ (x1) = e^x + cos x - 1 > 0，所以F(x) 在 （0，+∞)为增函数。
三楼前面写的对，到这步错了。当x趋近于0时，F‘（x）是负的。所以在0到无穷间有极小值。有计算器就能解出x点了，如果没有就只能猜。如果你可以找到一点使F（x）<0也可以。因为F（x）是连续函数且当x取正无穷的时候显然大于零，所以必有一点使F（x）=0，这样我们就可以说pq距离最短为0了。