Question

三角形重心向量公式是什么？

Answer 1

公式是：OG＝1／3OA＋2／3OD＝1／3（OA＋OB＋OC）。

重心坐标公式的证明：若三角形三顶点坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），证明此三角形重心的坐标为（x1＋x2＋x3／3，y1＋y2＋y3／3）。

记原点为O，三角形三顶点依次为A，B，C，G为重心，D为BC中点，于是OD＝1／2（OB＋OC）（全是向量，下同），然后知道AG＝2GD，所以OG＝1／3OA＋2／3OD＝1／3（OA＋OB＋OC），这样就得到了坐标公式。

重心坐标的计算方法：

摆线质量均匀，所以线密度为常数，设为ρ：

弧微分ds＝2｜sin（t／2）｜dt，由弧长s＝4得摆线只有半拱（0≤t≤π）。

摆线的质量m＝4ρ。

摆线关于x轴的静力矩mx＝ρ∫yds＝ρ∫（0～π）（1－cost）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

摆线关于y轴的静力矩my＝ρ∫xds＝ρ∫（0～π）（t－sint）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

重心的坐标是：x＝mx／m＝4／3，y＝my／m＝4／3。

所以，重心坐标是（4／3，4／3）。

Answer 2

三角形的重心是指三条中线的交点，它被定义为三个顶点的向量之和的1/3。给定一个三角形，三个顶点的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2) 和 C(x3, y3)，则三角形的重心的坐标 G(xg, yg) 可通过以下公式计算：
xg = (x1 + x2 + x3) / 3
yg = (y1 + y2 + y3) / 3
重心坐标为 (xg, yg)。