Question

矩阵和它的转置矩阵相乘结果是什么？

Answer 1

只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵，等于矩阵乘以矩阵的转置。

如果矩阵不是方阵：转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n；原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。这两个矩阵不是同型矩阵，不相等。

如果矩阵是方阵：

（1）对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

（2）反对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵的负矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

（3）正交矩阵（逆矩阵＝转置矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3、对角矩阵都是对称矩阵。

4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。